Page 261 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

260 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Dejenere Kuaterniyonlar

Rus matematikçi, I.M. Yaglom tarafından 1963 yılında tanımlanmı¸s bir kuaterniyon türüdür.
Dejenere kuaterniyonların, dejenere olmayan kısmı bir kompleks sayı gibi davranır. Bu ku­
aterniyonlarla ilgili literatürde çok fazla ara¸stırma yapılmamı¸stır. Bu kuaterniyonları çok kısa
¸ sekilde tanıyalım.

¨ ¥
15.17 F Dejenere Kuaterniyon (Degenerate Quaternions) F
§ ¦
 1  2  3  4 reel sayılar olmak üzere, q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k formunda yazılan ve
2
2
2
i = −1 j = k = jk = kj =0 ij = −ji = k ki = −ik = j, (15.4)
temel e¸sitliklerini sa˘ glayan sayılara dejenere kuaterniyon denir.  3 j +  4 k kısmına ku­
aterniyonun dejenere kısmı denir. Dejenere kuaterniyonlar kümesi H D ile gösterilir. Bir
q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k =  q + v  dejenere kuaterniyonunun e¸sleni˘ gi
q =  q − v  =  1 −  2 i −  3 j −  4 k
biçiminde tanımlanır ve q’nun normu
q
p p
2
kqk = qq = qq =  +  2
2
1
ile belirlidir. Ayrıca, kqk 6=0 için, q’nun tersi
q
−1
q = 2
kqk
ile tanımlanır. Sadece dejenere kısımdan olu¸san dejenere kuaterniyonların tersi yoktur.
Dejenere kuaterniyonların çarpımı a¸sa˘ gıdaki çarpım tablosuna göre yapılır. Dejenere kuater­
niyonlarda de˘ gi¸sme özelli˘ gi yoktur, fakat birle¸sme özelli˘ gi vardır.

· 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k −j
j j −k 0 0
k k j 0 0
Bu çarpıma göre, sol ve sa˘ g çarpım matrislerini
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 − 2 0 0  1 − 2 0 0
⎢  2  1 0 0 ⎥ ⎢  2  1 0 0 ⎥
 p = ⎢ ⎥ ve  p = ⎢ ⎥
⎣  3  4  1 − 2 ⎦ ⎣  3 − 4  1  2 ⎦
 4 − 3  2  1  4  3 − 2  1
¡ ¢ 2
2
biçiminde yazabiliriz. Ayrıca, det  p =det  p =  +  2 2 oldu˘ gu kolayca görülebilir.
1

15.16 Alıştırma  pq =  p  q e¸sitli˘ ginin sa˘ glandı˘ gını gösteriniz.

15.17 Alıştırma  p sol çarpım matrisinin özde˘ gerlerinin  1 ±  2 oldu˘ gunu görünüz.

15.18 Alıştırma Her p birim dejenere kuaterniyonunun R uzayında bir izoklinik dönmeye kar¸sılık
4
geldi˘ gini gösteriniz.