Page 263 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

262 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

DubleDejenereKuaterniyonlar(Double Degenerate
Quaternions)

Bu kuaterniyon türü de, Rus matematikçi, I.M. Yaglom’un 1963 yılında yazdı˘ gı "Complex
Numbers in Geometry" kitabında tanımlanmı¸stır. Duble dejenere kuaterniyonların, dejenere
olmayan kısmı ise bir dual sayı gibi davranır. A¸sa˘ gıda, bu kuaterniyonlarla ilgili kısa bilgi
verilmi¸stir.

¨ ¥
15.19 F Duble Dejenere Kuaterniyon F
§ ¦
 1  2  3  4 reel sayılar olmak üzere, q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k formunda yazılan ve
2
2
2
i = j = k = jk = kj = ik = −ki =0 ij = −ji = k (15.6)
temel e¸sitliklerini sa˘ glayan sayılara duble dejenere kuaterniyon denir. Duble dejenere ku­
aterniyonlar kümesi H DD ile gösterilir.  2 i+ 3 j+ 4 k kısmına kuaterniyonun dejenere kısmı
denir. Bir q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k =  q + v  duble dejenere kuaterniyonunun e¸sleni˘ gi
q =  q − v  =  1 −  2 i −  3 j −  4 k
biçiminde tanımlanır ve q’nun normu
p p
kqk = qq = qq = | 1 |
ile belirlidir. Ayrıca, sadece  1 6=0 iken q’nun tersinden söz edilebilir.
Duble dejenere kuaterniyonların çarpımı a¸sa˘ gıdaki çarpım tablosuna göre yapılır. De˘ gi¸sme
özelli˘ gi yoktur, fakat birle¸sme özelli˘ gi vardır.

· 1 i j k
1 1 i j k
i i 0 k 0
j j −k 0 0
k k 0 0 0
Buna göre, p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ve q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k için,
pq =  1  1 +( 1  2 +  2  1 ) i +( 1  3 +  3  1 ) j +( 1  4 +  4  1 +  2  3 −  3  2 ) k
oldu˘ gundan, sa˘ g ve sol çarpım matrisleri
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 0 0 0  1 0 0 0
⎢  2  1 0 0 ⎥ ⎢  2  1 0 0 ⎥
 p = ⎢ ⎥ ve  p = ⎢ ⎥
⎣ 0 0 ⎦ ⎣ 0 0 ⎦
 3  1  3  1
 4 − 3  2  1  4  3 − 2  1
4
bulunur. Ayrıca, det  p =det  p =  ve det  p oldu˘ gu kolayca görülebilir.
1

15.22 Alıştırma  pq =  p  q e¸sitli˘ ginin sa˘ glandı˘ gını gösteriniz.

15.23 Alıştırma  p sol çarpım matrisinin tek özde˘ gerinin  1 ve bu özde˘ gere kar¸sılık gelen özvek­
törlerinin (0 0 0 1) ve (0 2  3  0) oldu˘ gunu görünüz.