Page 266 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Farklı Kuaterniyon Türleri 265

Genelle¸stirilmi¸sKuaterniyonlar

Kuaterniyonların genelle¸stirilmesi bir çok matematikçiyi ilgilendiren bir konu olmu¸stur. Örne­
˘ gin, oktanyonlar kuaterniyonların genelle¸stirilmesinden ortaya çıkmı¸s bir 8 boyutlu bir ce­
birdir. Dahaöncebahsetti˘ gimiz, eliptik ve hiperbolik kuaterniyonlar da 4 boyutlu olarak,
kuaterniyonların genelle¸stirilmesine birer örnektir. A¸sa˘ gıda, eliptik ve hiperbolik kuaterniy­
onlardaki genelle¸stirmenin bir özel hali olan ve H. Pottmann ile J. Wallner tarafından yazılan
Computational Line Geometry kitabında verilen bir genelle¸stirilmi¸s kuaterniyon tanımı veri­
lecektir. Yine bu konuda detaylı bilgi, Mehdi Jafari ve Yusuf Yaylı’nın "Genelle¸stirilmi¸s
Quaternions and Their Algebraic Properties"isimli çalı¸smasında bulunabilir.

¨ ¥
15.21 F Genelle¸stirilmi¸s Kuaterniyon (Generalized Quaternions) F
§ ¦
Genelle¸stirilmi¸s kuaterniyon cebiri,
2
2
2
i = − j = − k = − ve ijk = −
ko¸sullarını ta¸sıyan q =  1 + 2 i+ 3 j+ 4 k (  ∈ R) sayı dörtlülerinin olu¸sturdu˘ gu birle¸simli,
fakat de˘ gi¸smeli olmayan bir cebirdir. Bu sayı dörtlülerinin olu¸sturdu˘ gu küme
© ª
2
2
2
GH =  1 +  2 i +  3 j +  4 k :   ∈ R, i = − j = − k = − ve ijk = −
ile gösterilir. Genelle¸stirilmi¸s kuaterniyon çarpım tablosu a¸sa˘ gıdaki gibi olacaktır.
· 1 i j k
1 1 i j k
i i − k −αj
j j k − i
k k j −i −

¨ ¥
15.22 F Genelle¸stirilmi¸s Kuaterniyonun E¸sleni˘gi, Normu, Tersi F
§ ¦
q =  1 + 2 i+ 3 j+ 4 k =  q +v  ∈ GH genelle¸stirilmi¸s kuaterniyonunun e¸sleni˘ gi, normu
ve tersi sırasıyla,
q =  1 −  2 i −  3 j −  4 k
q
p p
2
2
2
2
kqk = qq = qq =  +  +  +  
4
1
3
2
q
q −1 = 2
kqk
biçiminde tanımlanır. kqk =1 ise birimdir denir.
Not : Yukarıdaki tanımda,
i.  =  =1 alınırsa, reel kuaterniyonlar,
ii.  =1 =0 alınırsa, dejenere kuaterniyonlar,
iii.  = −1 =0 alınırsa, yarı dejenere kuaterniyonlar,
iv.  =  =0 alınırsa, duble dejenere kuaterniyonlar,
v.  =1 = −1 alınırsa, split kuaterniyonlar
elde edilir.