Page 264 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Farklı Kuaterniyon Türleri 263

Tam Dejenere Kuaterniyonlar (Dual Kuaterniyonlar)

2
2
Kuaterniyonlar cebirinde i = j = k = ijk = −1 olan e¸sitlikler, dual sayılardakine benzer
2
2
2
2
olarak i = j = k = ijk =0 biçiminde alınarak elde edilen birle¸smeli cebire, tam
dejenere kuaterniyonlar cebiri denir. B. Artmann tarafından, 1988 yılında tanımlanmı¸stır
ve 4­boyutlu Galile uzayına kar¸sılık gelmesi nedeniyle, di˘ ger dejenere kuaterniyonlardan daha
çok ele alınmı¸stır. Bu kuaterniyonlara null veya dual kuaterniyonlar da denilmektedir. B.
Artmann tarafından bu kuaterniyonlar dual kuaterniyonlar olarak ele alınmı¸stır. Fakat, bu
kitapda dual kuaterniyon olarak, literatürde hem geometrik hem de mekanik uygulamaları
olan, ve daha yaygın kullanılan dual sayı bile¸senli kuaterniyonlar alınmı¸stır. Bu nedenle null
veya tam dejenere kuaterniyon ifadesi tercih edilmi¸stir. Tam dejenere kuaterniyonları, di˘ ger
dejenere ve reel kuterniyonlardan ayıran en önemli özellik de˘ gi¸smeli olmasıdır.

¨ ¥
15.20 F Tam Dejenere (Null) Kuaterniyon (Dual Kuaterniyon) F
§ ¦
 1  2  3  4 reel sayılar olmak üzere, q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k formunda yazılan ve
2
i = j = k = ij = ji = jk = kj = ki = ik =0, (15.7)
2
2
temel e¸sitliklerini sa˘ glayan sayılara null veya tam dejenere kuaterniyon denir. Null kuater­
niyonlar kümesi H TD ve H N ile gösterilir. Bir q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k =  q + v  null
kuaterniyonunun e¸sleni˘ gi
q =  q − v  =  1 −  2 i −  3 j −  4 k
biçiminde tanımlanır ve q’nun normu
p p
kqk = qq = qq = | 1 |
4
ile belirlidir. Bu norm, G 4­boyutlu Galile uzayının semi normudur. Ayrıca, sadece  1 6=0
1
iken q’nun tersinden söz edilebilir.
Tam dejenere kuaterniyonların çarpımı a¸sa˘ gıdaki çarpım tablosuna göre yapılır. Tam dejenere
kuaterniyonlarda, hem de˘ gi¸sme hem de, birle¸sme özelli˘ gi sa˘ glanır.
· 1 i j k
1 1 i j k
i i 0 0 0
j j 0 0 0
k k 0 0 0
H TD tam dejenere kuaterniyonlar kümesinden verilen herhangi iki,
p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ve q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k
tam dejenere kuaterniyon için,

pq =  p  q +  p v  +  q v  =  1  1 +  1  2 +  1  3 +  1  4 +  1  1 +  2  1 +  3  1
olacaktır ki, bu e¸sitli˘ gi matrisler yardımıyla,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 0 0 0  1
⎢  2  1 0 0 ⎥ ⎢  2 ⎥
 p (q)= pq = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 0 0 ⎦ ⎣ ⎦
 3  1  3
 4 0 0  1  4
biçiminde yazabiliriz. Çarpım de˘ gi¸smeli oldu˘ gundan, sa˘ g ve sol çarpım matrisinden söz
edilmez.