Page 259 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

258 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Split Bikuaterniyon (Perpleks Kuaterniyon)

Perplex sayılar literatürde, duble (double), split kompleks, hiperbolik, spacetime gibi isimlerle
de anılır ve
© 2 ª
P =  +h :   ∈ R h =1
kümesiyle ifade edilir ki, bu küme 1873 yılında William Kingdon Clifford tarafından tanım­
lanmı¸s bir halkadır. Perplex sayılar kümesi Lorentz düzlem geometrisinin yorumlanmasında
kullanılır. Her birim kompleks sayı bir Öklidyen dönmeye kar¸sılık geldi˘ gi gibi, her birim
perpleks sayı da bir Lorentziyen yani hiperbolik dönmeye kar¸sılık gelir. Bu nedenle hiper­
bolik sayı da denilmektedir. Bu kitapda kavram karga¸sası olu¸smaması için perpleks kelimesi
kullanılmı¸stır. Split bikuaterniyon veya perpleks kuaterniyon denilince, bile¸senleri perpleks
sayı olan kuaterniyon anla¸sılır. Perplex kuaterniyon sekiz boyutlu reel vektör uzayının bir ele­
manıymı¸sgibidü¸sünülebilir. Bir z = +h perpleks sayısının e¸sleni˘ gi denilince, z = −h
sayısı anla¸sılır. Perpleks sayının normu ise bir pseudo normdur ve
p p
2
2
kzk = |zz| = | −  |
H
=  denklemi ise,
¸ seklinde tanımlıdır. Bu Lorentz düzlemindeki normdur. Buna göre, kzk
H
p
2
2
hiperbolik düzlemde hiperboller belirtir. z = +h için, |z| = | −  | =  e¸sitli˘ ginden,
H
2
2
2
2
 −  =  2 ve  −  =  2
hiperbolleri elde edilir. O halde, perpleks sayı kümesinde  yarıçaplı çember denilince a¸sa˘ gı­
daki ¸sekildeki gibi 4 hiperbol kolu anla¸sılacaktır. Bu hiperbol kolları, perpleks düzlemde
veya Lorentz düzleminde birer çember olduklarından, bunlara hiperbolik çember dalı veya
Lorentziyen çember diyece˘ giz. Perpleks düzlemde, yani Lorentz düzleminde  yarıçaplı çem­
1
beri H () ile gösteriririz. Perpleks düzlemde, sanal eksene hiperbolik eksen veya perpleks
eksen denir.
Hiperbolik (Sanal) Eksen
y
H 1 h (r )
z  a  h b  (a ,b )
b
H 1 1  (r ) H 1 1 (r )
x
a Reel Eksen
H 1  h (r )
¨ ¥
15.14 F Perplex Kuaterniyon F
§ ¦
Kuaterniyonlar kümesinde birimlerin katsayıları kompleks sayı alınarak elde edilen yeni sayı
kümesine perpleks kuaterniyon veya split bikuaterniyon kümesi denir. Buna göre, perpleks
kuaterniyonlar kümesi
© 2 2 2 ª
H(P)= a + bi + cj + dk : a b c d ∈ P, i = j = k = ijk = −1
biçiminde tanımlanır. Skaler kısmı perpleks sayı, vektörel kısmı da perpleks vektör olacak
¸ sekilde

 = a +(bi + cj + dk)=  q + v    q ∈ P, v  ∈ P 3
formunda yazılabilir. Perplex kuaterniyonlar kümesi reel sayılar kümesi üzerinde 8 boyutlu
bir cebir olu¸sturur ve bu cebirin tabanı da {1 i j k h hi hj hk} ile belirlidir.