Page 258 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Farklı Kuaterniyon Türleri 257

Timelike Hiperboloidik Split Kuaterniyonların Kutupsal Gösterimi

15.15 Teorem Her q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k timelike vektörel kısımlı timelike
hiperboloidik split kuaterniyon (J q =  +  1  −  2  −  3   0),
2
2
2
2
4
2
1
3
p 2 2 2
 1  1  −  2  −  3  4  2 i +  3 j +  4 k
3
2
cos  =  sin  = ve n = p
2
2
kqk kqk  1  −  2  −  3  2 4
3
2
olmak üzere,
q = kqk (cos  + n sin )
formunda yazılabilir.
Birim Hiperbolidal Kuaterniyona Kar¸sılık Gelen Hiperbolik Dönme Dönü¸sümü
15.16 Teorem Her q =  1 + 2 i+ 3 j+ 4 k birim timelike hiperboloidal split kuater­
niyonu için,

R q (v)= qvq −1
genelle¸stirilmi¸s Lorentz uzayında bir dönme dönü¸sümüdür ve bu
dönü¸sümü R  1 2 3
dönü¸süme kar¸sılık gelen R q dönme matrisi
⎡  1  4 ∆ 2 1  3 ∆ ⎤
2
2
2
 +  1  +  2  +  3  2 2 − 2 2  2  3 − − 2 3  2  4
⎢ 1 2 3 4 ⎥
 1  1
⎢ ⎥
∆ 1  4 2 1  2 ∆
2
2
2
⎢ 2 1  2  3 +2  −  1  −  2  + 3  2 ⎥
⎢ 1 2 3 4 − − 2 3  3  4 ⎥
⎢  2  2 ⎥
⎣ ∆ 1  3  1  2 ∆ ⎦
2
2
2
2 1  2  4 − 2 2 − 2 2  3  4  −  1  +  2  −  3  2 4
3
2
1
 3  3
(15.3)
ile belirlidir.
i. E˘ ger, q =cosh  + n sinh  ise, R q matrisi, n spacelike vektörüne Lorentz anlamında
dikolandüzlemde, 2 kadar hiperbolik dönme hareketi belirtir.
ii. E˘ ger, q =cos  + n sin  ise, R q matrisi, n timelike vektörüne Lorentz anlamında dik
olan düzlemde, 2 kadar eliptik dönme hareketi belirtir.
Örnek 15.14
−2 +  +4 = −1 hiperboloidi üzerinde dönme matrisi, q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k için,
2
2
2
⎡ 2 2 2 2 √ √ ⎤
 +2 + +4 4 2 2 1  4 − 2 2  3 −2 2 1  3 − 8 2  4
1
3
2 √
√
2
2
2
⎣  − 2 −  +4 2 ⎦
4 2  3 +4 2 1  4 2 3 4 −4 2 1  2 − 8 3  4
√ 1 √
2
2
2
4 2  4 − 2 1  3 2 1  2 − 2 3  4  − 2 + − 4 2
1 2 3 4
elde edilir. Örne˘ gin, q = −i+(12) k hiperboloidal kuaterniyonu, −2 + +4 = −1 hiperboloidi
2
2
2
üzerinde (1 0 12) timelike eksenine Lorentz anlamında ortogonal düzlemde 2 açısı kadar dönme
ifade eder.