Page 234 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Farklı Kuaterniyon Türleri 233

Ayrıca, bikuaterniyonlar kümesi reel sayılar kümesi üzerinde 8 boyutlu bir cebir olu¸sturur ve
bu cebirin tabanı da

{1 i j kijk}
ile belirlidir. Bu cebirde, ijk elemanlarının kareleri 1 olacaktır. Örne˘ gin,
2
2 2
(i) = ii = i =(−1) (−1) = 1
oldu˘ gu kolayca görülür. Buna göre, herhangi bir Q = a + bi + cj + dk ∈ H (C) kompleks
kuaterniyonu,
a =  1 +  2  b =  1 +  2  c =  1 +  2  d =  1 +  2 
olmak üzere,
Q =( 1 +  1 i +  1 j +  1 k)+  ( 2 +  2 i +  2 j +  2 k)= p + q
biçiminde iki kuaterniyon bile¸senli kompleks sayı olarak yazılabilir.
Bikuaterniyonlar için çarpım tablosu a¸sa˘ gıdaki gibidir.

· 1 i j k  i j k
1 1 i j k  i j k
i i −1 k −j i − k −j
j j −k −1 i j −k − i
k k j −i −1 k j −i −
  i j k −1 −i −j −k
i i − k −j −i 1 −k j
j j −k − i −j k 1 −i
k k j −i − −k −j i 1
˙ Iki kompleks kuaterniyonun çarpımın, reel kuaterniyonlarda oldu˘ gu gibi yapılır.
Q = a + bi + cj + dk ve P = x + yi + zj + tk ∈ H (C) olmak üzere,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
a −b −c −d x
⎢ b a −d c ⎥ ⎢ y ⎥
 Q (P)= QP = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ c d a −b ⎦ ⎣ z ⎦
d −c b a t
¸ seklinde yazılabilir. Ayrca, bikuaterniyon bir kompleks sayı gibi dü¸sünülerek, reel kuaterniyon
çarpımı cinsinden de ifade edebiliriz. Yani, Q = p 1 + q 1 ve P = p 2 + q 2 için
QP =(p 1 p 2 − q 1 q 2 )+  (p 1 q 2 + q 1 p 2 )
yazılabilir.
H (C) cebirinin, 1 ve (i) elemanıyla üretilen,
© ª
2
2
P =  +  (i):   ∈ R = i = −1 kompleks birim, i kuaterniyonik birim
altcebiri, perpleks sayı (split kompleks, hiperbolik veya double sayı olarak da bilinir.) halka­
sına izomorftur. Bu sayı kümesinden Perplex kuaterniyonlar kısmında kısaca bahsedilmi¸stir.

15.1 Alıştırma H(C) bikuaterniyonlar kümesinin a¸sa˘ gıdaki Clifford cebirlerine izomorf oldu˘ gunu
gösteriniz.
i.  2 (C) Clifford cebiri
ii.  12 (C) Clifford cebiri
iii.  30 (R) Clifford cebiri.