Page 230 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Split Kuaterniyonlar (Coquaternions) 229

Bu vektörün de, − +2 =0 düzleminde oldu˘ gunu ve kuk =k R q (u) k  e¸sitli˘ ginin sa˘ glandı˘ gı
b

kolayca görülebilir. Ayrıca,
b
huR q (u)i 
cosh 2 = =7 ⇒ cosh  =2
2
kuk

bulunur.
√
√
ln(4 3+7) − ln(4 3+7) √
Not : R q (u) matrisinin özde˘ gerlerinin, 1  oldu˘ gundan, 2 =ln(4 3+7)
b
oldu˘ gu görülebilir. Yine,
b
2cosh(2)+ 1 = izR q
e¸sitli˘ ginden,
cosh (2)= 7 ⇒ cosh  =2
olacaktır.

Birim Timelike Split Kuaterniyon ve Eliptik Dönme

14.15 Teorem TH 1 kümesinde verilen q =cos  + n sin  ∈ TH 1 kuaterniyonunun
b
b
vektörel kısmı timelike olsun. u üç boyutlu Minkowski uzayında non­lightlike bir vektör
ise,
R q (u)= quq −1
b
dönü¸sümü, n timelike ekseni etrafında 2 kadar dönmeyi ifade eder.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
u ve timelike n vektörlerinin gerdi˘ gi düzlemde hn bi =0 olacak ¸sekilde spacelike bir b

vektörü alınabilir. Hatta,
n ×  b = t t ×  n = b b ×  t = −n
e¸sitliklerini sa˘ glayacak ¸sekilde bir {n b t} üçlüsü seçilebilir. Böylece, u vektörünün space­
like yada timelike olmasına göre
u = (cosh ) n +(sinh ) b veya 2u =(sinh ) n + (cosh ) b
olarak ifade edilebilir. ¸Simdi, R q (u)= quq −1 dönü¸sümünün n ve b vektörlerini nasıl
b
de˘ gi¸stirdi˘ gini görelim. v q vektörü, n vektörüne paralel oldu˘ gundan dolayı,
qn = nq ve R q (n)= qnq −1 = nqq −1 = n
olur. Yani, u vektörü R q dönü¸sümü altında de˘ gi¸smez. Di˘ ger taraftan,
b
R q (b)= qbq −1 = (cos  + n sin ) b (cos  − n sin )
b
2
2
= b cos  − (cos  sin )(bn) + (cos  sin )(nb) − (nb) n sin 
elde edilir. Ortogonal has split kuaterniyonlar için bn = b ×  n oldu˘ gundan ve u v w
Lorentziyen vektörleri için sa˘ glanan
u ×  (v ×  w)= hu vi w − hu wi v


özde¸sli˘ gi ve hn ni = −1 oldu˘ gu göz önüne alınırsa,
