Page 225 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

224 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

¨ ¥
14.8 F 3 Boyutlu Lorentziyen Dönme Matrisleri F
§ ¦
Determinantı 1 olan Lorentziyen ortogonal matrislere Lorentziyen dönme matrisi denir. 3
boyutlu Lorentz uzayında dönme matrislerinin kümesini,
 ∗ ∗
SO (3 1) = {R ∈ M 3×3 (R): R  R =  ve det R =1}
ile gösteririz. Bu küme, matrislerin çarpma i¸slemine göre bir gruptur. Lorentz uzayındaki
dönme matrisleri, bir u ekseni etrafında, u ekseni spacelike ise  açısı kadar hiperbolik,
u ekseni timelike ise  açısı kadar eliptik dönmeyi ifade eder.  açısına dönme açısı, u
eksenine de dönme ekseni denir. Yani, dönme hiperbolik veya küresel olabilir.

5.2. Üç Boyutlu Minkowski Uzayında Dönmeler ve Dönmelerin Timelike Kuaterniyon
˙
Kullanılarak Ifadesi

Bu kısımda, birim timelike kuaterniyonlar kullanılarak üç boyutlu Lorentz uzayında dön­
melerin nasıl temsil edildi˘ gi gösterilecektir. Öncelikle, tanımlanacak olan R dönü¸sümünün
b
bir dönme belirtti˘ gini ifade eden a¸sa˘ gıdaki teoremle ba¸slanacaktır. Daha sonra, timelike split
kuaterniyonun vektörel kısmının timelike veya spacelike olmasına göre, dönme türünün nasıl
de˘ gi¸sti˘ gi kanıtlanacaktır. TH ve TH 1 ile sırasıyla timelike split ve birim timelike split kuater­
b
b
niyonlar kümesi gösterilecektir.

Split Kuaterniyonlarla Dönme Dönü¸sümü

14.11 Teorem q ve p timelike kuaterniyonlar olsun. Bu durumda,

R : TH → TH  R q (p)= qpq −1
b
b
b
b
¸ seklinde tanımlanan R dönü¸sümü, normu ve p timelike kuaterniyonunun skalar kısmını
b
koruyan lineer bir dönü¸sümdür.