Page 222 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Split Kuaterniyonlar (Coquaternions) 221

˙
H 2+ Üzerindeki Hiperbolik Üçgenler Için Hiperbolik Sinüs ve
0
Hiperbolik Kosinüs Teoremleri

H 2+ ile iki kantlı hiperboloidin üst kısmını ifade ediyoruz. H 2+ üzerindeki verilen  ve 
0
0
−→ −−→
noktaları için,  ve  noktalarına kar¸sılık gelen  hiperbolik yayını,  = u ve  = v
olmak üzere, spacelike vektörlü q = vu −1 =cosh +n sinh  timelike kuaterniyonu ile ifade
edebildi˘ gimizi göstermi¸stik. Bundan yararlanarak H 2+ hiperboloidi üzerindeki, hiperbolik
0
üçgenler için hiperbolik sinüs ve kosinüs teoremlerinin kanıtı yapılabilir.

C
b
A a
c B

O

H 2+ hiperboloidi üzerinde  hiperbolik üçgeni
0
Hiperbolik Sinüs ve Kosinüs Teoremlerinin Split Kuaterniyonlar Yardımıyla Kanıtı

14.10 Teorem H 2+ birim hiperboloidi üzerinde kö¸se noktaları   ve  ve
0
kar¸sılarındaki kenarların uzunlukları    olan bir hiperbolik üçgen göz önüne alınsın.
−→ −−→
−−→
u v ve w ile sırasıyla   ve  vektörleri gösterilsin. Ayrıca,   ve  de,
hiperbolik üçgenin   ve  kö¸selerinde üçgenin kenarları arasındaki açılar olsun. Buna
göre, a¸sa˘ gıdaki e¸sitlikler sa˘ glanır.
cosh  cosh  +sinh  sinh  cos  =cosh 
sin  sin  sin 
= = 
sinh  sinh  sinh 
Bu e¸sitliklerden ilkine hiperbolik kosinüs, ikincisine de hiperbolik sinüs teoremi denir.
(Özdemir ve Ergin 2005)

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Teorem 14.9’ye göre, ,  ve  hiperbolik yayları sırasıyla vu −1 , wv −1 ve wu −1
g
g g
timelike kuaterniyonlarıyla gösterilebilir. p = vu −1 , q = wv −1 denilirse,
wu −1 = wv −1 vu −1 = qp
olur. Ayrıca,  +  =  denklemi
g
g
g
 (p)+  (q)=  (qp)
olarak ifade edilebilir. Bu daha genel olarak, herhangi sayıda büyük hiperboloid yaylarının
toplamı, onların split kuaterniyon gösteriminin ters sırada split kuaterniyon çarpımına e¸sittir.
Bu notasyonları kullanarak hiperbolik sinüs ve hiperbolik kosinüs teoremlerini kanıtlayalım.