Page 218 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 218
Split Kuaterniyonlar (Coquaternions) 217
Split Kuaterniyonların Geometrik Uygulamaları
Reel kuaterniyonların küresel geometriye uygulamalarını incelemi¸stik. Yine, her birim reel
kuaterniyonun Öklid uzayındaki bir küresel dönmeye kar¸sılık geldi˘ gini göstermi¸stik. Split
kuaterniyonların da benzer bir geometrik uygulaması bulunabilir. Split kuaterniyonların vek
törel kısmının E ile gösterilen 3 boyutlu Lorentz uzayıyla özde¸sle¸stirildi˘ gini belirtmi¸stik. Bu
3
1
uzaydaki birim kürelerimiz ise,
©
2
2
2
2
S = u =( ): − + + =1 ∈ R ª
1
ile gösterilen tek kanatlı hiperboloid ile,
©
2
2
2
2
H = u =( ): − + + = −1 ∈ R ª
0
ile gösterilen çift kanatlı hiperboloiddir. O halde, Lorentz anlamındaki küreler, yani bu hiper
boloidler üzerindeki hareketleri, split kuaterniyonlar yardımıyla incelemek mümkün olacaktır.
Her birim reel kuaterniyon, birim küre üzerinde bir büyük çember yayına kar¸sılık geldi˘ gini
göstermi¸stik. Kürenin büyük çemberi denilince, kürenin merkezinden geçen bir düzlemle,
kürenin kesi¸smesiyle olu¸san, yarıçapı kürenin yarıçapına e¸sit çemberler ifade edilir. Ben
zer ¸sekilde, Lorentz anlamındaki küreler, yani hiperboloidler üzerindeki büyük çemberleri
de tanımlayabiliriz. Hiperboloidin merkezinden geçen düzlemle, hiperboloidin kesi¸smesiyle
olu¸san e˘ grilere büyük çemberler diyece˘ giz. Bunlar hiperbol, çember, elips olabilir. Açıktır ki,
2
H çift kanatlı hiperboloid üzerindeki büyük çember yayları hiperboldür. Fakat, S tek kanatlı
2
0
1
hiperboloidi üzerindeki büyük çember yayları ise, hiperbol, elips veya çember olabilir.
Her Split Kuaterniyon Hiperboloid Üzerinde Bir Büyük Yaya Kar¸sılık Gelir
14.9 Teorem Her q = q + v q birim timelike kuaterniyon olsun.
2
2
3
i. E˘ ger, v q ∈ E spacelike ise, q =cosh +n sinh formundadır ve S veya H üzerinde
1 1 0
bir büyük hiperbolik yayına kar¸sılık gelir.
ii. E˘ ger, v q ∈ E timelike ise, q =cos + n sin formundadır ve S üzerinde bir büyük
2
3
1
1
elips yayına kar¸sılık gelir.
