Page 219 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

218 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
i. u ve v n birim spacelike vektörüne dik ve aralarındaki açı  olan birim vektörler olsun. Bu
durumda, u ve v vektörleri ya timelike vektörlerdir ya da |hu vi |  1 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan

spacelike vektörlerdir. Her iki durumda da,

hu vi = − kukkvk cosh  = − cosh 

ku ×  vk = kukkvk sinh  =sinh 
olacaktır. Buna göre, u v has birim kuaterniyonlar gibi dü¸sünülerek

q =cosh  + n sinh 
= kukkvk cosh  + n kukkvk sinh 
= − hu vi +(u ×  v)

= h−u vi − (−u ×  v)
= hv − ui +(v ×  −u)
= v (−u)
= vu −1
elde edilir. Bu ifade geometrik olarak, her spacelike vektörel kısımlı q timelike birim kuater­
niyonu için a¸sa˘ gıdaki iki durumdan biri geçerlidir.
−→ −−→
1. q aralarındaki açı  olan ve n birim spacelike vektörüne dik olan  = u ve  = v
birim timelike vektörleriyle olu¸sturulan H çift kanatlı hiperboloid üzerindeki  hiperbolik
2
0
yayına kar¸sılık gelir (¸Sekil 1)
2. qaralarındaki açı  olan ve n birim spacelike vektörüne dik olan ve |hu vi |  1 e¸sitsiz­

−−→
−→
2
li˘ gini sa˘ glayan  = u ve  = v birim spacelike vektörleriyle olu¸sturulan S tek kanatlı
1
hiperboloid üzerindeki  hiperbolik yayına kar¸sılık gelir. (¸Sekil 2)
Her iki durumda da,  hiperbolik yayına kar¸sılık gelen split kuaterniyon,   has split
kuaterniyonlar olarak alınarak
q =  −1 = h i +  ×  

biçiminde ifade edilebilir.
ii. n timelike ise  ve  |hu vi |  1 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan spacelike vektörler olabilir. Bu

durumda aralarındaki açı küresel açıdır ve
hu vi = kukkvk cos  =cos 

ku ×  vk = kukkvk sin  =sin 
olacaktır. Buna göre, u v has birim kuaterniyonlar gibi dü¸sünülerek
q =cos  + n sin 
= kukkvk cos  + n kukkvk sin 
= hu vi +(u ×  v)

= uv
elde edilir. Bu ifade geometrik olarak, her timelike vektörel kısımlı q timelike birim kuatern­
−→ −−→
iyonu, aralarındaki açı  olan ve n birim timelike vektörüne dik olan  = u ve  = v
2
birim spacelike vektörleriyle olu¸sturulan S tek kanatlı hiperboloid üzerindeki  çember
1
yayına kar¸sılık gelir (¸Sekil 3­4). Bu split kuaterniyon da q =  ile belirlidir.