Page 219 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 219
218 Kuaterniyonlar ve Geometri Mustafa Özdemir
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
i. u ve v n birim spacelike vektörüne dik ve aralarındaki açı olan birim vektörler olsun. Bu
durumda, u ve v vektörleri ya timelike vektörlerdir ya da |hu vi | 1 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan
spacelike vektörlerdir. Her iki durumda da,
hu vi = − kukkvk cosh = − cosh
ku × vk = kukkvk sinh =sinh
olacaktır. Buna göre, u v has birim kuaterniyonlar gibi dü¸sünülerek
q =cosh + n sinh
= kukkvk cosh + n kukkvk sinh
= − hu vi +(u × v)
= h−u vi − (−u × v)
= hv − ui +(v × −u)
= v (−u)
= vu −1
elde edilir. Bu ifade geometrik olarak, her spacelike vektörel kısımlı q timelike birim kuater
niyonu için a¸sa˘ gıdaki iki durumdan biri geçerlidir.
−→ −−→
1. q aralarındaki açı olan ve n birim spacelike vektörüne dik olan = u ve = v
birim timelike vektörleriyle olu¸sturulan H çift kanatlı hiperboloid üzerindeki hiperbolik
2
0
yayına kar¸sılık gelir (¸Sekil 1)
2. qaralarındaki açı olan ve n birim spacelike vektörüne dik olan ve |hu vi | 1 e¸sitsiz
−−→
−→
2
li˘ gini sa˘ glayan = u ve = v birim spacelike vektörleriyle olu¸sturulan S tek kanatlı
1
hiperboloid üzerindeki hiperbolik yayına kar¸sılık gelir. (¸Sekil 2)
Her iki durumda da, hiperbolik yayına kar¸sılık gelen split kuaterniyon, has split
kuaterniyonlar olarak alınarak
q = −1 = h i + ×
biçiminde ifade edilebilir.
ii. n timelike ise ve |hu vi | 1 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan spacelike vektörler olabilir. Bu
durumda aralarındaki açı küresel açıdır ve
hu vi = kukkvk cos =cos
ku × vk = kukkvk sin =sin
olacaktır. Buna göre, u v has birim kuaterniyonlar gibi dü¸sünülerek
q =cos + n sin
= kukkvk cos + n kukkvk sin
= hu vi +(u × v)
= uv
elde edilir. Bu ifade geometrik olarak, her timelike vektörel kısımlı q timelike birim kuatern
−→ −−→
iyonu, aralarındaki açı olan ve n birim timelike vektörüne dik olan = u ve = v
2
birim spacelike vektörleriyle olu¸sturulan S tek kanatlı hiperboloid üzerindeki çember
1
yayına kar¸sılık gelir (¸Sekil 34). Bu split kuaterniyon da q = ile belirlidir.