Page 219 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 219

218                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir



              ¨           ¥
               F Kanıt F
              §           ¦
              i. u ve v n birim spacelike vektörüne dik ve aralarındaki açı  olan birim vektörler olsun. Bu
              durumda, u ve v vektörleri ya timelike vektörlerdir ya da |hu vi |  1 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan
                                                                       
              spacelike vektörlerdir. Her iki durumda da,

                                    hu vi   = − kukkvk cosh  = − cosh 
                                          
                                  ku ×  vk = kukkvk sinh  =sinh 
              olacaktır. Buna göre, u v has birim kuaterniyonlar gibi dü¸sünülerek

                                    q =cosh  + n sinh 
                                       = kukkvk cosh  + n kukkvk sinh 
                                       = − hu vi +(u ×  v)
                                                  
                                       = h−u vi − (−u ×  v)
                                       = hv − ui +(v ×  −u)
                                       = v (−u)
                                       = vu   −1
              elde edilir. Bu ifade geometrik olarak, her spacelike vektörel kısımlı q timelike birim kuater­
              niyonu için a¸sa˘ gıdaki iki durumdan biri geçerlidir.
                                                                            −→          −−→
              1. q aralarındaki açı  olan ve n birim spacelike vektörüne dik olan  = u ve  = v
              birim timelike vektörleriyle olu¸sturulan H çift kanatlı hiperboloid üzerindeki  hiperbolik
                                                   2
                                                   0
              yayına kar¸sılık gelir (¸Sekil 1)
              2. qaralarındaki açı  olan ve n birim spacelike vektörüne dik olan ve |hu vi |  1 e¸sitsiz­
                                                                                   
                                       −−→
                            −→
                                                                                     2
              li˘ gini sa˘ glayan  = u ve  = v birim spacelike vektörleriyle olu¸sturulan S tek kanatlı
                                                                                     1
              hiperboloid üzerindeki  hiperbolik yayına kar¸sılık gelir. (¸Sekil 2)
              Her iki durumda da,  hiperbolik yayına kar¸sılık gelen split kuaterniyon,   has split
              kuaterniyonlar olarak alınarak
                                        q =   −1  = h i +  ×  
                                                           
              biçiminde ifade edilebilir.
              ii. n timelike ise  ve  |hu vi |  1 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan spacelike vektörler olabilir. Bu
                                           
              durumda aralarındaki açı küresel açıdır ve
                                        hu vi  = kukkvk cos  =cos 
                                             
                                      ku ×  vk = kukkvk sin  =sin 
              olacaktır. Buna göre, u v has birim kuaterniyonlar gibi dü¸sünülerek
                                     q =cos  + n sin 
                                         = kukkvk cos  + n kukkvk sin 
                                         = hu vi +(u ×  v)
                                                  
                                         = uv
              elde edilir. Bu ifade geometrik olarak, her timelike vektörel kısımlı q timelike birim kuatern­
                                                                            −→          −−→
              iyonu, aralarındaki açı  olan ve n birim timelike vektörüne dik olan  = u ve  = v
                                                    2
              birim spacelike vektörleriyle olu¸sturulan S tek kanatlı hiperboloid üzerindeki  çember
                                                    1
              yayına kar¸sılık gelir (¸Sekil 3­4). Bu split kuaterniyon da q =  ile belirlidir.
   214   215   216   217   218   219   220   221   222   223   224