Page 221 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 221

220                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir


              Örnek 14.8
              − +  +  =1 tek kanatlı hiperboloidi üzerindeki  =(2 2 1) ve  =(2 1 2) noktaları için,
                          2
                     2
                 2
               yayına kar¸sılık gelen split kuaterniyonu bulunuz.














                                      −−→
                            −→
                Çözüm : u =  ve v =  vektörlerinin her ikisi de spacelike vektörlerdir. Di˘ ger yandan,
                                          hu vi = −4+2+2 = 0  1
                                               
              oldu˘ gundan, üstteki teorem gere˘ gi bu kez bir eliptik yay kar¸sılık gelecektir. Bu eliptik yaya kar¸sılık
              gelen split kuaterniyon ise, q = uv ile belirlidir. Buradan,
                                                                  ¯        ¯
                                                                  ¯ −i  j  k ¯
                                                                  ¯        ¯
                                   q = uv = hu vi +(u ×  v)= 0 − 2   2  1  ¯
                                                                  ¯
                                                                 ¯        ¯
                                                                  ¯  2  1  2  ¯
              e¸sitli˘ ginden, q =3i +2j +2k birim timelike split kuaterniyonu elde edilir. Bu kuaterniyonun vektörel
              kısmının timelike oldu˘ gunu görünüz. Ayrıca, yayın ölçüsü de,
                                               cos  = hu vi =0
                                                          
              oldu˘ gundan,  = 2 bulunur.



                              2    2   2                                        1
               14.9 Alıştırma   −  −  =1 çift kanatlı hiperboloid üzerindeki  = √ (2 1 0) ve  =
                                                                                 3
              1
               (3 2 1) noktaları için, orjinden ve bu noktalardan geçen düzlemler hiperboloidinkesi¸smesiyle olu¸san
              2
              e˘ gri üzerindeki  yayının türünü bulunuz ve bu yaya kar¸sılık gelen split kuaterniyonu belirleyiniz.
                                   1  √   √    √      √  
              Yanıt : Hiperbolik yay, q =  4 3 −  3i +  3j − 2 3k 
                                   6
                                2   2  2
               14.10 Alıştırma  − + + =1 tek kanatlı hiperboloid üzerindeki ,  (2 1 2) ve  =(12 12 1)
              noktaları için, orjinden ve bu noktalardan geçen düzlemler hiperboloidinkesi¸smesiyle olu¸san e˘ gri üze­
              rindeki  yayının türünü bulunuz ve bu yaya kar¸sılık gelen split kuaterniyonu belirleyiniz.
                                     3
                                           1
              Yanıt : Hiperbolik yay, q = − − j + k
                                     2     2
   216   217   218   219   220   221   222   223   224   225   226