Page 221 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

220 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Örnek 14.8
− +  +  =1 tek kanatlı hiperboloidi üzerindeki  =(2 2 1) ve  =(2 1 2) noktaları için,
2
2
2
 yayına kar¸sılık gelen split kuaterniyonu bulunuz.

−−→
−→
Çözüm : u =  ve v =  vektörlerinin her ikisi de spacelike vektörlerdir. Di˘ ger yandan,
hu vi = −4+2+2 = 0  1

oldu˘ gundan, üstteki teorem gere˘ gi bu kez bir eliptik yay kar¸sılık gelecektir. Bu eliptik yaya kar¸sılık
gelen split kuaterniyon ise, q = uv ile belirlidir. Buradan,
¯ ¯
¯ −i j k ¯
¯ ¯
q = uv = hu vi +(u ×  v)= 0 − 2 2 1 ¯
¯
 ¯ ¯
¯ 2 1 2 ¯
e¸sitli˘ ginden, q =3i +2j +2k birim timelike split kuaterniyonu elde edilir. Bu kuaterniyonun vektörel
kısmının timelike oldu˘ gunu görünüz. Ayrıca, yayın ölçüsü de,
cos  = hu vi =0

oldu˘ gundan,  = 2 bulunur.

2 2 2 1
14.9 Alıştırma  −  −  =1 çift kanatlı hiperboloid üzerindeki  = √ (2 1 0) ve  =
3
1
(3 2 1) noktaları için, orjinden ve bu noktalardan geçen düzlemler hiperboloidinkesi¸smesiyle olu¸san
2
e˘ gri üzerindeki  yayının türünü bulunuz ve bu yaya kar¸sılık gelen split kuaterniyonu belirleyiniz.
1  √ √ √ √ 
Yanıt : Hiperbolik yay, q = 4 3 − 3i + 3j − 2 3k 
6
2 2 2
14.10 Alıştırma − + + =1 tek kanatlı hiperboloid üzerindeki ,  (2 1 2) ve  =(12 12 1)
noktaları için, orjinden ve bu noktalardan geçen düzlemler hiperboloidinkesi¸smesiyle olu¸san e˘ gri üze­
rindeki  yayının türünü bulunuz ve bu yaya kar¸sılık gelen split kuaterniyonu belirleyiniz.
3
1
Yanıt : Hiperbolik yay, q = − − j + k
2 2