Page 221 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 221
220 Kuaterniyonlar ve Geometri Mustafa Özdemir
Örnek 14.8
− + + =1 tek kanatlı hiperboloidi üzerindeki =(2 2 1) ve =(2 1 2) noktaları için,
2
2
2
yayına kar¸sılık gelen split kuaterniyonu bulunuz.
−−→
−→
Çözüm : u = ve v = vektörlerinin her ikisi de spacelike vektörlerdir. Di˘ ger yandan,
hu vi = −4+2+2 = 0 1
oldu˘ gundan, üstteki teorem gere˘ gi bu kez bir eliptik yay kar¸sılık gelecektir. Bu eliptik yaya kar¸sılık
gelen split kuaterniyon ise, q = uv ile belirlidir. Buradan,
¯ ¯
¯ −i j k ¯
¯ ¯
q = uv = hu vi +(u × v)= 0 − 2 2 1 ¯
¯
¯ ¯
¯ 2 1 2 ¯
e¸sitli˘ ginden, q =3i +2j +2k birim timelike split kuaterniyonu elde edilir. Bu kuaterniyonun vektörel
kısmının timelike oldu˘ gunu görünüz. Ayrıca, yayın ölçüsü de,
cos = hu vi =0
oldu˘ gundan, = 2 bulunur.
2 2 2 1
14.9 Alıştırma − − =1 çift kanatlı hiperboloid üzerindeki = √ (2 1 0) ve =
3
1
(3 2 1) noktaları için, orjinden ve bu noktalardan geçen düzlemler hiperboloidinkesi¸smesiyle olu¸san
2
e˘ gri üzerindeki yayının türünü bulunuz ve bu yaya kar¸sılık gelen split kuaterniyonu belirleyiniz.
1 √ √ √ √
Yanıt : Hiperbolik yay, q = 4 3 − 3i + 3j − 2 3k
6
2 2 2
14.10 Alıştırma − + + =1 tek kanatlı hiperboloid üzerindeki , (2 1 2) ve =(12 12 1)
noktaları için, orjinden ve bu noktalardan geçen düzlemler hiperboloidinkesi¸smesiyle olu¸san e˘ gri üze
rindeki yayının türünü bulunuz ve bu yaya kar¸sılık gelen split kuaterniyonu belirleyiniz.
3
1
Yanıt : Hiperbolik yay, q = − − j + k
2 2