Page 226 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Split Kuaterniyonlar (Coquaternions) 225

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
 ∈ R ve r p ∈ H
b
¡
¡
R q (r + p)= q (r + p) q −1 = qrq −1 ¢ + qpq −1 ¢
b
¡ −1 ¢ ¡ −1 ¢
=  qrq + qpq
= R q (r)+ R q (p)
b
b
oldu˘ gunda, R q dönü¸sümü lineerdir.  (pq)=  (qp) oldu˘ gu da kullanılırsa, R q (p) kuater­
b
b
niyonunun skaler kısmı,
¡ −1 ¢ ¡ −1 ¢
(R q (p)) =  qpq =  qq p =  (p)
b
elde edilir. O halde, R dönü¸sümü p kuaterniyonunun skaler kısmını de˘ gi¸stirmez. Yine,
b
° ° ° ° ° ° ° °
k R q p k= qpq −1 ° = kqkkpk q = kpkkqk q = kpk qq −1 ° = kpk
°
° −1 °
°
° −1 °
b
oldu˘ gundan R dönü¸sümü normu koruyan bir dönü¸sümdür.
b
Birim Timelike Split Kuaterniyona Kar¸sılık Gelen Dönme Matrisi
14.12 Teorem Bir q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k birim timelike kuaterniyonu için,
3
3
R q : R → R  R q (p)= quq −1
b
b
1
1
dönme dönü¸sümüne kar¸sılık gelen matris :
⎡ 2 2 2 2 ⎤
 +  +  +  4 2 1  4 − 2 2  3 −2 1  3 − 2 2  4
2
3
1
2
2
2
R q = ⎣ 2 2  3 +2 4  1  −  −  +  2 −2 3  4 − 2 2  1 ⎦ (14.1)
b
1
3
4
2
2
2
2
2 2  4 − 2 3  1 2 2  1 − 2 3  4  −  +  −  2
4
1
2
3
¡ 2 2 2 2 ¢ 3
matrisidir. Bu matris R  R =  ve det R q =  +  −  −  =1 özelliklerini
∗
b  ∗ b
1 2 3 4
sa˘ glar. Yani, R q matrisi 3­boyutlu Lorentz uzayında bir dönme matrisidir (Özdemir ve
b
Ergin).
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
R q lineer dönü¸sümüne kar¸sılık gelen matris
b
£ ¤
R q = R q (i) R q (j) R q (k)
b
b
b
b
matrisidir. Buna göre,
R q (i)= qiq −1
b
=( 1 +  2 i +  3 j +  4 k) i ( 1 −  2 i −  3 j −  4 k)
=( 1 i −  2 −  3 k +  4 j)( 1 −  2 i −  3 j −  4 k)
¡ 2 2 2 2 ¢
=  +  +  +  i +(2 1  4 +2 2  3 ) j +(2 2  4 − 2 1  3 ) k
1 2 3 4
olacaktır. Benzer ¸sekilde,
¡ 2 2 2 2 ¢
R q (j)=(2 1  4 − 2 2  3 ) i +  −  −  +  4 j +(2 1  2 − 2 3  4 ) k
b
3
2
1
¡ 2 2 2 2 ¢
R q (k)=(−2 1  3 − 2 2  4 ) i +(−2 1  2 − 2 3  4 ) j +  −  +  −  4 k
b
3
1
2