Page 227 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

226 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

2
2
2
elde edilir. Buradan, (14.1) matrisi elde edilir.  +  −  −  =1 oldu˘ gundan,
2
2
4
3
1
¢
¡ 2 3
2
2
2
det R q =  +  −  −  4 =1
b
3
2
1
olur. Ayrıca,  =  (−1 1 1) kö¸segen matrisini göstermek üzere,
∗
R  R =  ∗
b  ∗ b
oldu˘ gundan, R ∈ SO (1 2) olur. Yani, R 3­boyutlu Lorentz uzayında bir dönme matrisidir.
b
b
Birim Timelike Split Kuaterniyona Kar¸sılık Gelen Dönme Matrisi
14.13 Teorem Bir q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k birim timelike kuaterniyonu için,
 : TH 1 → SO (1 2)
b
b
q → R q
dönü¸sümü bir grup homomorfizmasıdır.  (1 2) grubu TH 1 Á{±1} bölüm grubuna
b
izomorftur. Buna göre, üç boyutlu Minkowski uzayındaki her dönme iki kuaterniyonla
gösterilebilir. Yani q ve −q timelike kuaterniyonlarının her ikisi de aynı dönmeyi ifade
eder.
Bir birim timelike kuaterniyonun vektörel kısmının timelike veya spacelike olması, dönmenin
küresel yada hiperbolik olmasını ifade etmesi açısından önemlidir. E˘ ger, vektörel kısım bir
timelike vektör ise bu durumda q kuaterniyonu bir küresel dönme, e˘ ger spacelike ise q bir
hiperbolik dönme belirtir. Burada aslında belirtilen hiperbolik kelimesi yine Lorentziyen an­
lamında küresel bir dönmeyi ifade etmektedir ve karı¸smaması için hiperbolik dönme ifadesi
kullanılmaktadır. Dönme hiperboloidler üzerinde gerçekle¸sir.

Birim Timelike Split Kuaterniyon ve Hiperbolik Dönme

14.14 Teorem TH 1 kümesinde verilen bir q =cosh  + n sinh  ∈ TH 1 kuaterniyo­
b
b
nunun vektörel kısmı spacelike olsun. u üç boyutlu Minkowski uzayında non­lightlike
bir vektör ise,
R q (u)= quq −1
b
dönü¸sümü, n spacelike ekseni etrafında 2 kadar hiperbolik dönmeyi ifade eder.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
u ve spacelike n vektörlerinin gerdi˘ gi düzlemde hn bi =0 olacak ¸sekilde timelike bir vektör

b vardır. Hatta,
n ×  b = t t ×  n = −b b ×  t = n
e¸sitlikleri sa˘ glanacak ¸sekilde bir {n b t} üçlüsü bulunabilir. Böylece, u vektörünün spacelike
yada timelike olmasına göre