Page 231 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

230 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

(nb) n =(n ×  b) ×  n = −n ×  (n ×  b)= − hn ni b + hn bi n = b
 
elde edilir. Böylece,

R q (b)= b cos 2 + t sin 2
b
bulunur ki, bu e¸sitlik, R q (u) vektörünün, u vektörünün n vektörü etrafında küresel olarak 2
b
açısı kadar dönmesini ifade eder.

Böylece, timelike vektörlü bir q birim timelike kuaterniyonu üç boyutlu bir Lorentziyen vek­
törün q kuaterniyonunun vektör kısmı etrafında 2 acısı kadar dönmesini ifade eder.

Örnek 14.12
Timelike vektörel kısımlı q =cos  + i sin  timelike kuaterniyonuna kar¸sılık gelen dönme matrisinin
u =cosh i +sinh j
timelike vektörünü 2 kadar küresel olarak döndürdü˘ günü gösteriniz. R q matrisini bulunuz.
b
Çözüm : v q = i oldu˘ gundan dolayı, qi = iq oldu˘ gunu biliyoruz. Buna göre,
−1 −1
R q (i)= qiq = iqq = i
b
elde edilir. Di˘ ger yandan,
−1
R q (j)= qjq =(cos  + i sin ) j (cos  − i sin )= j cos 2 + k sin 2
b
olur. O halde, R q dönü¸sümü u vektörünün  bile¸senini de˘ gi¸stirmezken, j bile¸seni 2 kadar i timelike
b
vektörü etrafında küresel olarak döner (Bak : ¸sekil). Ayrıca, q =cos  + i sin  için, (14.1)’den,
⎡ ⎤
1 0 0
R q = ⎣ 0cos 2 − sin 2 ⎦
0 sin 2 cos 2
elde edilir.

i

2θ
u R q (u)

k
2θ
j