Page 236 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Farklı Kuaterniyon Türleri 235

˙
Bikuaterniyonun Normunun Sıfır Olması Için Gerek ve Yeter Ko¸sul

15.2 Teorem Herhangi bir Q = p+q bikuaterniyonunun normunun sıfır olması için
gerek ve yeter ko¸sul

kpk = kqk ve hp qi =0
olmasıdır.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
q
2
2
Q = p + q olmak üzere, kQk = kpk − kqk +2 hp qi oldu˘ gunu görelim.
q
p
kQk = QQ = (p + q)(p + q)
p
= pp − qq +  (pq + qq)
√
elde edilir. 2 hp qi =(pq + qq) ve pp = kpk oldu˘ gundan,
q
2
2
kQk = kpk − kqk +2 hp qi
elde edilir. Buna göre, kQk =0 olması içingerek ve yeter ko¸sul hp qi =0 ve kpk = kqk
e¸sitliklerinin sa˘ glanmasıdır.

Sonuç 15.1 Bir Q = p + q bikuaterniyonunun birim olması için gerek ve yeter ko¸sul
2
2
kpk = kqk +1 ve hp qi =0
olmasıdır. Buna göre,
Q =( 1 +  1 i +  1 j +  1 k)+  ( 2 +  2 i +  2 j +  2 k)= p + q
bikuaterniyonunun birim olması için
2
2
2
2
2
2
2
 −  +  −  +  −  +  −  2 =1
2
2
2
1
1
1
1
2
 1  2 +  1  2 +  1  2 +  1  2 =0
Q
e¸sitlikleri sa˘glanmalıdır. Herhangi bir Q bikuaterniyonu için, kQk 6=0 ise, bikuater­
kQk
niyonu birim olacaktır.
Örnek 15.1
Q =(1 + )+(1 +2) i +(3 − ) j + dk bir birim kuaterniyon ise, d kompleks sayısını bulunuz.
2
2
Çözüm : Q = p + q birim ise, kpk = kqk +1 ve hp qi =0 olmalıdır. d =  +  ise,
2
2
1+1+9+  2 = ¡ 1 + 4+1+  2 ¢ +1 ⇒  −  = −4
h(1 1 3)  (1 2 −1)i =0 ⇒  =0
e¸sitlikleri elde edilir ki, buradan  =0 ve  = ±2 elde edilir. O halde, d = ± olabilir.

15.2 Alıştırma Q =(1 + i +2j + k)+ (1 − i + j − 2k) bikuaterniyonunun normunu hesaplayınız.
√
Yanıt : kQk = −8