Page 237 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

236 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

˙
Bikuaterniyonlar Cebiri, 2x2 Kompleks Matris Cebirine Izomorftur

15.3 Teorem H(C) bikuaterniyonlar cebiri, kompleks sayılar kümesinde tanımlanan
2 × 2 matris cebirine izomorftur. Yani H(C) = M 2×2 (C) izomorfizmi vardır. Her
∼
Q = a + bi + cj + dk ∈ H (C) bikuaterniyonu
∙ ¸
a + b c + d
−c + da − b
kompleks matrisiyle temsil edilebilir.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Bikuaterniyon kümesinin taban elemanlarıyla, 2 × 2 kompleks matrislerin bazı elemanlarını
a¸sa˘ gıdaki gibi e¸sleyelim.
∙ ¸ ∙ ¸
10  0
1 ↔ E 1 =  i ↔ E 2 = 
01 0 −
∙ ¸ ∙ ¸
0 1 0 
j ↔ E 3 =  k ↔ E 4 = 
−10  0
Burada e¸slenen E 1  E 2  E 3  E 4 matrisleri, 2 × 2 kompleks matrisler kümesinin bir tabanıdır.
Di˘ ger yandan,

2 2 2
E = E = E = E 2 E 3 E 4 = −E 1
2
3
4
bikuaterniyon e¸sitliklerinin tamamını sa˘ glar. O halde, her iki kümenin tabanları arasında
i¸slemleri koruyan birebir bir e¸sleme yapılabildi˘ ginden, H (C) = M 2×2 (C) elde edilir. Bu­
∼
radan, Q = a + bi + cj + dk ∈ H (C) için,
∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸
10  0 0 1 0  a + b c + d
a + b + c + d =
01 0 − −10  0 −c + da − b
elde edilir.
Örnek 15.2 ∙ ¸
3+4 2 − 3 kompleks matrisine kar¸sılık gelen kompleks kuaterniyonu bulunuz.
6 − 2 5 − 3
∙ ¸ ∙ ¸
a + b c + d 3+4 2 − 3
Çözüm : = e¸sitli˘ ginden,
−c + da − b 6 − 5 5 − 2
½ ½
a + b =3 + 4 ve c + d =2 − 3
a − b =5 − 2 −c + d =6 − 5
olur ki, buradan
a =4 +  b =3 +  c = −2+  d = −4 − 4
elde edilir. O halde, istenen kompleks kuaterniyon :
Q =(4 + )+ (3 + ) i +(−2+ ) j +(−4 − 4) 
=(4 + 3i − 2j − 4k)+ (1 + i + j − 4k) 
bulunur.