Page 228 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Split Kuaterniyonlar (Coquaternions) 227

u = (cosh ) n +(sinh ) b veya u =(sinh ) n + (cosh ) b
olarak ifade edilebilir. ¸Simdi, R q (u)= quq −1 dönü¸sümünün n ve b vektörlerini nasıl
b
de˘ gi¸stirdi˘ gini görelim. v q vektörü, n vektörüne paralel oldu˘ gundan dolayı,
qn = nq ve R q (n)= qnq −1 = nqq −1 = n
b
olur. Yani, u vektörü R q dönü¸sümü altında de˘ gi¸smez. Di˘ ger taraftan,
b
R q (b)= qbq −1 = (cosh  + n sinh ) b (cosh  − n sinh )
b
2
2
= b cosh  − (cosh  sinh )(bn) + (cosh  sinh )(nb) − (nb) n sinh 
olur. Bu e¸sitlikte, ortogonal has split kuaterniyonlar için bn = b ×  n oldu˘ gundan ve E 3
1
uzayında, u v w Lorentziyen vektörleri için,
u ×  (v ×  w)= hu vi w − hu wi v


özde¸sli˘ gi sa˘ glandı˘ gından ve ayrıca n birim spacelike oldu˘ gundan,

(nb) n =(n ×  b) ×  n = − n ×  (n ×  b)= − hn ni b + hn bi n = −b


elde edilir. Buradan,
R q (b)= b cosh 2 + t sinh 2
b
bulunur. Bu e¸sitlik, R q (u) dönü¸sümüyle u Lorentziyen vektörünün n vektörü etrafında
b
(Lorentziyen anlamda küresel) hiperbolik olarak 2 açısı kadar dönmesini ifade eder.

Sonuç 14.1 Buna göre, spacelike vektörlü bir q =cosh  + n sinh  timelike split kuater­
niyonu, 3 boyutlu null olmayan bir vektörü n vektörü etrafında 2 kadar hiperbolik olarak
döndürür.

Örnek 14.10
Spacelike vektörel kısımlı q =cosh  + k sinh  timelike kuaterniyonuna kar¸sılık gelen dönme mat­
risinin
u =(cosh ) k +(sinh ) i
spacelike vektörünü 2 kadar hiperbolik olarak döndürdü˘ günü gösteriniz. R q matrisini bulunuz.
b
Çözüm : v q ile k paralel oldu˘ gundan R q (k)= qkq −1 = k olur. Di˘ ger yandan,
b
R q (i)= qiq −1 =(cosh  + k sinh ) i (cosh  − k sinh )
b
= i cosh 2 + j sinh 2
elde edilir. Bu e¸sitli˘ ge göre, R q (i) vektörü, i vektörünün k vektörüne dik düzlemde 2 kadar hiperbolik
b
dönmesiyle elde edilen bir timelike vektördür. Böylece,
u =(cosh ) k +(sinh ) i
spacelike vektörü, R q dönü¸sümü altında
b
R q (u)= (cosh ) k +(sinh ) R q (i)
b
b
spacelike vektörüne dönü¸sür.