Page 224 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Split Kuaterniyonlar (Coquaternions) 223

Timelike Split Kuaterniyonlarla Hiperboloid Üzerindeki
Dönmeler

Reel kuaterniyonların 3 boyutlu Öklid uzayındaki dönmeleri ifade etmemizde büyük kolaylık
sa˘ gladı˘ gını göstermi¸stik. Bu bölümde ise, timelike split kuaterniyonlar yardımıyla, Lorentz
uzayındaki 3 boyutlu dönmeler incelenecektir. Burada aklımıza ¸söyle bir soru gelebilir. "Ne­
den timelike split kuaterniyonlar?". Çünkü, timelike split kuaterniyonlar bir grup olu¸sturur ve
Lorentziyen dönme matrisleri de bir gruptur. Ayrıca, bu dönmenin nasıl gerçekle¸sti˘ gi a¸sa˘ gıda
˙
gösterilecektir. Iç çarpımı koruyan dönü¸sümlere ortogonal dönü¸süm denildi˘ gini hatırlayınız.
Buna göre, Lorentziyen skaler çarpımını koruyan dönü¸sümlere de, denir. Kısaca,  dönü¸sümü,
hu vi = − 1  1 +  2  2 +  3  3 skaler çarpımına göre,

h (u)  (v)i = hu vi
 
e¸sitli˘ gini sa˘ glıyorsa, bu dönü¸süme Lorentziyen ortogonal dönü¸süm denir. Ayrıca,
⎡ ⎤
−100
 =  (−1 1 1) = ⎣ 0 1 0 ⎦
∗
0 0 1
olmak üzere,
 ∗
hu vi = u  v

biçiminde yazılabilir.

Örnek 14.9
¡ ¢
Lorentz Uzayında, O E 3 =O (3 1) Ortogonal Matrislerin kümesini ifade ediniz.
1
3
Çözüm : R bir lineer dönü¸süm olsun. Her u v ∈ E için, hu vi = u  v ve
 ∗
1

 
∗
 ∗
hR (u)  R (v)i =(Ru)  Rv = u R  Rv

de˘ gerlerinin birbirine e¸sit olması
R  R =  ∗
 ∗
olması durumunda mümkündür. Buna göre,3­boyutlu Lorentz uzayında bir R matrisi için,
 ∗
∗
 ∗
R  R =  ∗ veya R  =  R −1
e¸sitli˘ gi sa˘ glanıyorsa, R matrisine Lorentziyen ortogonal matris denir. Lorentziyen ortogonal matris­
lerin kümesi
¡ 3 ¢ © ª
 ∗
O E 1 =O (3 1) = R ∈ M 3×3 (R)  R  R =  ∗
biçiminde ifade edilebilir.

14.11 Alıştırma R ∈ O(3 1) ise, det R = ±1 oldu˘ gunu kanıtlayınız.

14.12 Alıştırma R ∈ O(3 1) ise ise, kR (u)k = kuk oldu˘ gunu kanıtlayınız.
 

−1
14.13 Alıştırma R ∈ O(3 1) ise, R ∈ O(3 1) ve R ∈ O(3 1) oldu˘ gunu gösteriniz.