Page 223 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

222 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Teorem 14.8’ya göre,

 h wv −1 =cosh  + n 1 sinh 
g
 h uw −1 =cosh  + n 2 sinh 
g
 h vu −1 =cosh  + n 3 sinh 
g
olarak ifade edilebilir. Buradan,
 =  + 
g
g
g
e¸sitli˘ gi ise
¡
vw −1 = vu −1 ¢¡ uw −1 ¢
kuaterniyon e¸sitli˘ gine kar¸sılık gelir. Buna göre,
cosh  − n 1 sinh  =(cosh  + n 3 sinh )(cosh  + n 2 sinh )

cosh  − n 1 sinh  =cosh  cosh  + n 2 cosh  sinh 
+n 3 cosh  sinh  +(n 3 n 2 )sinh  sinh 

elde edilir. Burada,
n 3 n 2 = hn 3  n 2 i + n 3 ×  n 2 =cos  − u sin 

oldu˘ gundan dolayı,
cosh  cosh  + n 2 cosh  sinh  + n 3 cosh  sinh 
+sinh  sinh  cos  − u sin  sinh  sinh  =cosh  − n 1 sinh 
e¸sitli˘ gi elde edilir. Bu e¸sitli˘ gin her iki tarafının skalar kısımlarının e¸sitli˘ ginden
cosh  cosh  +sinh  sinh  cos  =cosh 
bulunur ki bu da hiperbolik üçgenler için hiperbolik kosinüs kuralıdır. E˘ ger, her iki tarafın
vektörel kısımları e¸sitlenirse,
n 2 cosh  sinh  + n 3 cosh  sinh  − u sin  sinh  sinh  = −n 1 sinh 
bulunur. Bu denklemin, her iki tarafının, timelike u vektörüyle Lorentz iç çarpımı alınırsa, u
vektörü n 2 ve n 3 vektörlerine dik oldu˘ gundan,

sin  sinh  sinh  = − hu 1 sinh i 
= − hu v × wi 
= − (u v w)
elde edilir. Buradan,
sin  − (u v w)
=
sinh  sinh  sinh  sinh 
bulunur. Sa˘ g taraf, elemanların dairesel permütasyonuna göre de˘ gi¸smeyece˘ ginden
sin  sin  sin 
= = 
sinh  sinh  sinh 
bulunur ki bu son ifade de hiperbolik üçgenler için hiperbolik sinüs kuralıdır.