Page 220 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Split Kuaterniyonlar (Coquaternions) 219

Örnek 14.6
2
2
2
 −  −  =1 çift kanatlı hiperboloidi üzerindeki  =(9 8 4) ve  =(3 2 2) noktaları için, 
hiperbolik yayına kar¸sılık gelen split kuaterniyonu bulunuz.

−−→
−→
Çözüm : u =  =9i +8j +4k ve v =  =3i +2j +2k vektörlerinin her ikisi de timelike
vektörlerdir. Çünkü, hu ui = −81 + 64 + 16 = −1  0 ve hv vi = −9+4+4 = −1  0’dır.
 
Buna göre, istenen kuaterniyon yukarıdaki teorem gere˘ gi : q = vu −1 olacaktır. Buradan,
¯ ¯
¯ −i j k ¯
¯
q = vu −1 = −vu = − hv ui − (v ×  u)= − (−27 + 16 + 8) − 3 2 2 ¯ ¯
¯
 ¯ ¯
¯ 9 8 4 ¯
e¸sitli˘ ginden, q =3 − 8i − 6j − 6k elde edilir. Bu hiperbolik yayın ölçüsü de,
−1
cosh  = − hu vi =3 ⇒  =cosh 3

olacaktır.
Örnek 14.7
2
2
− +  +  =1 tek kanatlı hiperboloidi üzerindeki  =(2 2 1) ve  =(−2 1 2) noktaları için,
2
 yayına kar¸sılık gelen split kuaterniyonu bulunuz.

−→
−−→
Çözüm : u =  ve v =  vektörlerinin her ikisi de spacelike vektörlerdir. Di˘ ger yandan,
hu vi = 4 +2+2 = 8  1

oldu˘ gundan, üstteki teorem gere˘ gi yine bir hiperbolik yay kar¸sılık gelecektir. Bu hiperbolik yaya kar¸sılık
gelen split kuaterniyon da, yine q = vu −1 ile belirlidir. Buradan,
¯ ¯
¯ −i j k ¯
¯
q = vu −1 = −vu = − hv ui − (v ×  u)= −8 − −21 2 ¯ ¯
¯
 ¯ ¯
¯ 2 2 1 ¯
e¸sitli˘ ginden, q = −8 − 3i − 6j +6k birim timelike split kuaterniyonu elde edilir.