Page 220 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 220

Split Kuaterniyonlar (Coquaternions)                                          219

              Örnek 14.6
                        2
                   2
               2
               −  −  =1 çift kanatlı hiperboloidi üzerindeki  =(9 8 4) ve  =(3 2 2) noktaları için, 
              hiperbolik yayına kar¸sılık gelen split kuaterniyonu bulunuz.















                                                   −−→
                           −→
              Çözüm : u =  =9i +8j +4k ve v =  =3i +2j +2k vektörlerinin her ikisi de timelike
              vektörlerdir. Çünkü, hu ui = −81 + 64 + 16 = −1  0 ve hv vi = −9+4+4 = −1  0’dır.
                                                                     
              Buna göre, istenen kuaterniyon yukarıdaki teorem gere˘ gi : q = vu −1  olacaktır. Buradan,
                                                                              ¯        ¯
                                                                              ¯ −i  j  k ¯
                                                                              ¯
                      q = vu −1  = −vu = − hv ui − (v ×  u)= − (−27 + 16 + 8) − 3  2  2  ¯ ¯
                                                                              ¯
                                                                             ¯        ¯
                                                                              ¯  9  8  4  ¯
              e¸sitli˘ ginden, q =3 − 8i − 6j − 6k elde edilir. Bu hiperbolik yayın ölçüsü de,
                                                                    −1
                                      cosh  = − hu vi =3 ⇒  =cosh   3
                                                     
              olacaktır.
              Örnek 14.7
                     2
                         2
              − +  +  =1 tek kanatlı hiperboloidi üzerindeki  =(2 2 1) ve  =(−2 1 2) noktaları için,
                 2
               yayına kar¸sılık gelen split kuaterniyonu bulunuz.














                          −→
                                    −−→
              Çözüm : u =  ve v =  vektörlerinin her ikisi de spacelike vektörlerdir. Di˘ ger yandan,
                                           hu vi = 4 +2+2 = 8  1
                                                
              oldu˘ gundan, üstteki teorem gere˘ gi yine bir hiperbolik yay kar¸sılık gelecektir. Bu hiperbolik yaya kar¸sılık
              gelen split kuaterniyon da, yine q = vu −1  ile belirlidir. Buradan,
                                                                        ¯        ¯
                                                                        ¯ −i  j  k ¯
                                                                        ¯
                            q = vu −1  = −vu = − hv ui − (v ×  u)= −8 − −21   2  ¯ ¯
                                                                        ¯
                                                                       ¯        ¯
                                                                        ¯  2  2  1  ¯
              e¸sitli˘ ginden, q = −8 − 3i − 6j +6k birim timelike split kuaterniyonu elde edilir.
   215   216   217   218   219   220   221   222   223   224   225