Page 217 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

216 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Örnek 14.3
Örne˘ gin, q =1 + i +2j +2k split kuaterniyonu, I q =1 + 1 − 4 − 4= −6  0 oldu˘ gundan spacelike
p √
kuaterniyondur. Buna göre, kqk = |I q | = 6 oldu˘ gundan,
à √ !
√ 1 (1 2 2) 7
q = kqk (sinh  + n cosh )= 6 √ + √ √
6 7 6
formunda yazılabilir.

Örnek 14.4
q =2 + i +2k kuaterniyonu, I q =4 + 1 − 4=1  0 oldu˘ gundan timelike kuaterniyondur. Vektörel
kısmı ise,
n =(1 0 2) ∈ E 3
1
p
bir spacelike vektördür. Çünkü, hn ni = −1+0+4 = 3  0’dır. Buna göre, kqk = |I q | =1
oldu˘ gundan,
√
| 1 | −1+0+4 √
cosh  = =2 ve sinh  = = 3
kqk 1
olur.
i +2k √
q =1 + i +2k =2 + √ 3=cosh  + n sinh 
3
biçiminde yazılır.

Örnek 14.5
q =1 + 2i + j + k kuaterniyonu, I q =1 + 4 − 1 − 1=3  0 oldu˘ gundan timelike kuaterniyondur.
Vektörel kısmı ise,

n =(2 1 1) ∈ E 3 1
p
bir timelike vektördür. Çünkü, hn ni = −4+1 + 1 = −2  0’dır. Buna göre, kqk = |I q | =3
oldu˘ gundan,
√ √ √
| 1 | 1 3 4 − 1 − 1 6
cos  = = √ = ve sin  = √ =
kqk 3 3 3 3
olur.
à √ √ !
√ 3 2i + j + k 6
q =1 + 2i + j + k = 3 + √ =cos  + n sin 
3 3 3
biçiminde yazılır.

14.8 Alıştırma A¸sa˘ gıdaki split kuaterniyonları sınıflandırınız ve kutupsal formda yazınız.
a) q =1 + i +2j + k
b) q =2i + j + k
c) q =2 + 2i +2j + k
√ i+2j+k √
Yanıt : a) spacelike, q = 3(sinh  + n cosh )  n =  cosh  =2 3
2 √
b) Timelike vektörel kısımlı timelike split kuaterniyon, q = 2(cos +n sin )  n = 2i+j+k  = 2
√
√ 2
c) Spacelike vektörel kısımlı timelike split kuaterniyon, q = 3(cosh  + n sinh )  n = 2i+2j+k 
√ 2
cosh  =2 3