Page 212 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 212

Split Kuaterniyonlar (Coquaternions)                                          211


               14.6 Alıştırma  q =2 + i +3j split kuaterniyonunun tersini bulunuz.
                                           2 − i − 3j  1  1   3
              Yanıt : I q =4 + 1 − 9= −4 q −1  =  = − + i + j
                                             −4       2   4   4

                Split Kuaterniyonun Normu ve Karakterinin Özellikleri


                 14.2   Teorem p q ∈ H olmak üzere, a¸sa˘ gıdakiler özellikler sa˘ glanır.
                                       b
                1. I pq =I p I q 
                2. kpqk = kpk kqk 
                                 


              ¨           ¥
               F Kanıt F
              §           ¦
              1. I q = qq oldu˘ gundan,

                             I pq = pqpq = pqq p = p (qq) p = pI q p =I q pp =I q I p
              elde edilir.
                         p        p         p    p
              2. kpqk =    |I pq | =  |I q I p | =  |I p | |I q | = kqk kpk 
                                                                  
                     
                                                             
              Yukarıdaki teoremlere göre a¸sa˘ gıdaki sonuçları yazabiliriz.
              1. Spacelike split kuaterniyonlar kümesi, split kuaterniyon çarpımına göre grup olu¸stur­
              maz.
              Çünkü, spacelike split kuaterniyonlar, split kuaterniyon çarpımına göre kapalı de˘ gildir. Yani,
              iki spacelike split kuaterniyonun çarpımı timelike split kuaterniyondur. p q spacelike ise,
              I p  0 I q  0 olacaktır. Fakat,

                                                I pq =I p I q  0
              olaca˘ gından, pq çarpımı timelike olur. O halde,

                                            b
                                                                 b
                                           SH = {q :I q  0 q ∈ H}
              kümesi için, (SH ·) grup de˘ gildir.
                            b
              2. Lightlike split kuaterniyonlar kümesi, split kuaterniyon çarpımına göre grup olu¸stur­
              maz.
              Çünkü, hem birim eleman, hem de her elemanın tersi yoktur.

                                             b
                                                                 b
                                           LH = {q :I q =0 q ∈ H}
              kümesi için, (LH ·) grup de˘ gildir.
                            b
              3. Timelike split kuaterniyonlar kümesi, split kuaterniyon çarpımına göre gruptur.
                                             b
                                                                 b
                                           TH = {q :I q  0 q ∈ H}
              kümesi için, (TH ·) gruptur. Ayrıca, birim timelike split kuaterniyonlar kümesi
                            b
                                            b
                                                                 b
                                          TH 1 = {q :I q =1 q ∈ H}
              ile gösterilir ve bu küme de
                                           3         4
                                          S = {u ∈ E : hu ui E 2 4 =1}
                                           2
                                                     2
              biçiminde tanımlanan yarı Öklidyen küreyle özde¸sle¸stirilir.
   207   208   209   210   211   212   213   214   215   216   217