Page 209 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

208 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

14.1 Alıştırma Üstte ifade edilen  p ve  p matrislerinin do˘ grulu˘ gunu görünüz.

14.2 Alıştırma p q ∈ R ve p q ∈ H için, pq = qp olması için gerek ve yeter ko¸sul v p vektörünün,
b
v q vektörüne paralel olmasıdır. Gösteriniz.

14.3 Alıştırma Split kuaterniyonlar kümesinde, çarpma i¸sleminin, toplama i¸slemi üzerine sa˘ gdan ve
soldan da˘ gılma özelliklerinin oldu˘ gunu, yani, p q r ∈ H için,
b
r (p + q)= rp + rq ve (p + q) r = pr + qr
e¸sitlikleri sa˘ glandı˘ gını gösteriniz.

Örnek 14.1
p =1+2i−3j+2k ve q =2+3i+j−4k ∈ H olmak üzere, pq ve qp split kuaterniyon çarpımlarını
b
bulunuz.

Çözüm : pq =  p  q + hv p  v q i +  p v q +  q v p + v p ×  v q e¸sitli˘ gini kullanalım.

¯ ¯
¯ −i j k ¯
¯ ¯
pq =1·2+ h(2 −3 2)  (3 1 −4)i +1 (3 1 −4) + 2 (2 −3 2) + ¯ 2 −3 2 ¯
 ¯ ¯
¯ 3 1 −4 ¯
=2 + (−6 − 3 − 8) + 1 (3 1 −4) + 2 (2 −3 2) + (−10 14 11)
=(−15 −3 9 11)
= −15 − 3i +9j +11k
bulunur. Benzer ¸sekilde,

qp = −15 + 17i − 19j − 11k
oldu˘ gu bulunabilir.

14.4 Alıştırma p =1+i+k ve q =2+3i+j kuaterniyonları için, pq ve qp çarpımlarını yukarıdaki
yöntemle bulunuz.
Yanıt : pq = −1+4i +3j +2k ve qp = −1+ 4i − 2j + k

¨ ¥
14.4 F Split Kuaterniyonun E¸sleni˘gi (Conjugate) F
§ ¦
q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k =  q + v q bir split kuaterniyon olmak üzere,
q =  q − v q =  1 −  2 i −  3 j −  4 k
biçiminde tanımlanan kuaterniyon, q kuaterniyonunun e¸sleni˘ gi denir ve q ile gösterilir.