Page 210 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Split Kuaterniyonlar (Coquaternions) 209

Split Kuaterniyonun E¸sleni˘ ginin Özellikleri

14.1 Teorem A¸sa˘ gıdakiler özellikler sa˘ glanır.
1. (q)= q
2. p + q = p + q
3. pq = q p
2
4. qq = qq =  − hv q  v q i 
q
5. q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k için, qq =  +  −  −  olur.
2
2
2
2
1 2 3 4
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
1. ve 2. açıktır. 3., 4. ve 5.’nin do˘ grulu˘ gunu görelim.
pq =  p  q + hv p  v q i +  p v q +  q v p + v p ×  v q

e¸sitli˘ gine göre,
 pq =  p  q + hv p  v q i ∈ R ve v q =  p v q +  q v p + v p ×  v q

oldu˘ gundan,

pq =  p  q + hv p  v q i −  p v q −  q v p − v p × v q
=  q  p + h−v q  −v p i +  q (−v p )+  p (−v q )+(−v q ) × (−v p )
=( q − v q )( p − v p )
= q p
oldu˘ gu görülür.
4. Benzer dü¸sünceyle,

qq =( q + v q )( q − v q )
=  q − hv q  −v q i +  q (−v  )+  q v  + v  ×  (−v  )

2
=  − h−v   v  i +  q v  +  q (−v  )+(−v  ) ×  v 

q
=( q − v  )( q + v  )
= qq
oldu˘ gu açıktır.

 q v  +  q (−v  )+(−v  ) ×  v  = 0
oldu˘ gundan,
2
qq = qq =  − hv   v  i 
q
olur. Son olarak, q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k için,
2
2
2
 =  2 1 ve hv   v  i = − +  +  2 4
q
2
3

oldu˘ gundan,
2
2
2
qq =  +  −  −  2 4
3
1
2
elde edilir.