Page 206 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Split Kuaterniyonlar (Coquaternions)

Split kuaterniyonlar cebiri, reel kuaterniyonlar kümesinde j 2 = k 2 = ijk =1 alınarak
elde edilen bir cebirdir. 1849 yılında James Cockle tarafından tanımlanmı¸stır. Literatürde,
coquaternionlar olarak da geçmektedir. Bunun yanında, para­kuaterniyon, anti­kuaterniyon,
pseudo(yarı)­kuaterniyon terimleri de, nadir de olsa kullanılmaktadır. Split kuaterniyon cebiri
de, reel kuaterniyonlar gibi birle¸simli ama de˘ gi¸smeli olmayan bir cebirdir. Bunun yanında,
split kuaterniyonlar cebirinde sıfır bölenler bulundu˘ gundan bir bölüm cebiri de˘ gildir. Sıfır
bölenlerin olması, bu kuaterniyon türünü sınıflandırmamıza neden olur. Bu sınıflandırmadan
dolayı da, bölünmü¸s (split) kuaterniyonlar denilmi¸stir. Split kuaterniyonlar yardımıyla, özel­
likle Minkowski 3­uzayında, yani 3 boyutlu Lorentz uzayındaki dönmeleri inceleyebildi˘ gimiz
için, reel kuaterniyonlar dı¸sındaki di˘ ger kuaterniyonlara göre daha çok incelenen bir kuater­
niyon türüdür. Split kuaterniyonların, küresel geometriye benzer ¸sekilde, hiperboloidal geo­
metriye uygulamaları vardır. Böylece, birim hiperboloidler üzerindeki hareketleri split kuater­
niyonlarla incelemek mümkündür. Split kuaterniyonların geometrik yorumları, M. Özdemir,
A.A. Ergin, L. Kula, Y. Yaylı ve E. Nesoviç’in kaynaklar kısmında verilen çalı¸smalarında bulu­
nabilir. Reel kuaterniyonların 2×2 türünden kompleks matrisler yardımıyla temsil edilebildi˘ gini
göstermi¸stik. Split kuaterniyonlar ise, 2 × 2 türünden hem reel, hem de kompleks matrisler
yardımıyla gösterilebilir. Böylece 2×2 türünden reel matrisleri, split kuaterniyonlar yardımıyla
incelemek de mümkündür.

¨ ¥
14.1 FSplit Kuaterniyonlar (Split Quaternions or Coquaternions) F
§ ¦
Split kuaterniyon cebiri,

2
2
2
i = −1 j = k = ijk =1
ko¸sullarını ta¸sıyan q =  1 + 2 i+ 3 j+ 4 k (  ∈ R) sayı dörtlülerinin olu¸sturdu˘ gu birle¸simli,
fakat de˘ gi¸smeli ve bölmeli olmayan bir cebirdir. Bu sayı dörtlülerinin olu¸sturdu˘ gu cümle H
b
ile gösterilir. Kısaca,
© 2 2 2 ª
H =  1 +  2 i +  3 j +  4 k :   ∈ R, i = −1 j = k = ijk =1
b
biçiminde ifade edebiliriz. Reel kuaterniyonlarda oldu˘ gu gibi, her q ∈ H split kuaterni­
b
yonu q =  q + v q biçiminde  q =  1 skaler ve v q =  2 i +  3 j +  4 k vektörel kısmıyla
ifade edilebilir. E˘ ger,  q =0 ise, bu durumda q ’ya has split kuaterniyon denir. (Split
kuaterniyonun skaler ve vektörel kısmı, sırasıyla (q) ve  (q) ile de gösterilir.)

Split kuaterniyonların çarpımı a¸sa˘ gıdaki çarpım tablosuna göre yapılır. Bu çarpımın, reel
kuaterniyonlarda oldu˘ gu gibi de˘ gi¸sme özelli˘ gi yoktur, fakat birle¸sme özelli˘ gi vardır.
1 i j k
·
1 1 i j k
i i −1 k −j
j j −k 1 −i
k k j i 1

Split kuaterniyon çarpımını Lorentziyen skaler ve vektörel çarpımla ifade edebiliriz. Önce­
likle, Lorentziyen skaler ve vektörel çarpımı kısaca tanımlayalım.