Page 202 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Genelle¸stirilmi¸s Skaler Çarpım Uzaylarında Dönme Matrisleri 201

olur. Bu denklem sisteminden de,
 22 =  12  ve  12 = − 22 
elde edilir.  11 =0 ise,  21 =0 olur ve  22 =0 olursa,  11 =  12 =0 olaca˘ gından,
 22 6=0 kabul edebiliriz. Bu durumda,  12 6=0 olaca˘ gından,  22 =  12  alalım. Buradan,
 11 = − 12  ve  12 =  22  elde edilir. Yani,  11 =0 ise  matrisi :
∙ ¸
− 12  − 22 
 =
0  12 
olacaktır.

2
13.14 Alıştırma R uzayını,  : R ×R → R,  (x y)= 2 1  1 +5 2  2 − 1  2 − 2  1 iç çarpımıyla
2
2
birlikte göz önüne alalım. Bu skaler çarpım uzayında ters simetrik matrislerin hangi formda oldu˘ gunu
bulunuz.
 
 −5
Yanıt :  = 
2 −

¨ ¥
13.12 F Genelle¸stirilmi¸s Ortogonal Matrisler Kümesi F
§ ¦
V uzayında,  nondegenere bilineer formuyla birlikte tüm ortogonal matrislerin kümesi: 
bilineer formuyla ili¸skilendirilmi¸smatris  olmak üzere,
© ª

O (V  )= R : R R =  det R = ±1
ile gösterilir.

Genell¸stirilmi¸s Ortogonal Matrisler Grubu

13.3 Teorem O (V  ) kümesi, matrislerdeki çarpma i¸slemine göre bir gruptur.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Matrislerde çarpma i¸slemininin birle¸sme özelli˘ gi vardır. Di˘ ger yandan, R =  matrisi, birim
ortogonal matristir. det R = ±1 oldu˘ gundan, her R ∈ O (V  ) matrisinin tersi vardır ve
¢
 ¡ −1  −1
R R =  ⇒  = R R
−1 ∈ O (V  ) dir. Ayrıca, R 1  R 2 ∈ O (V  ) olmak üzere,
oldu˘ gundan, R
  ¡  ¢ 
R R 2 =  ⇒ R 2 R R 1 R 2 =  ⇒ (R 1 R 2 )  (R 1 R 2 )= 
1
2
oldu˘ gundan, R 1 R 2 ∈ O (V  ) elde edilir. Yani, matris çarpımı i¸slemine göre O(V  ) kümesi
kapalıdır. O halde, O(V  ) kümesi bir gruptur.