Page 198 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 198

Genelle¸stirilmi¸s Skaler Çarpım Uzaylarında Dönme Matrisleri                 197


                               3
               13.12 Alıştırma  R uzayında, x =( 1  2  3 ) ve y =( 1  2  3 ) için,
                                                    1  1       3  3
                                          (x y)=     +  2  2 −
                                                    2            2
              ¸ seklinde tanımlanan skaler çarpıma uygun olarak bir vektörel çarpım tanımlayınız. Bu vektörel çarpımı
              kullanarak, bu uzayda, x =(1 2 5) ve y =(3 2 1) vektörlerine ­ortogonal bir vektör bulunuz.
                                           
                                           
                              2e 1  e 2  −2e 3
                           1               
              Yanıt : x × y =     1   2   3    u = x × y =(−8 7 4) 
                           2               
                                           
                               1   2   3
                                              Normlu Uzay

                     ¨                  ¥
               13.9   F Normlu Uzay F
                     §                  ¦
               V, reel sayılar cismi üzerinde vektör uzayı olsun. V üzerinde tanımlanan k·k : V → R +
               fonksiyonu, her v w vektörleri ve her  skaleri için, a¸sa˘ gıdaki ko¸sulları sa˘ glarsa k·k fonksiy­
               onuna norm denir. V uzayına da normlu uzay denir.
                   N1. kvk ≥ 0 (Pozitif tanımlılık 1)
                   N2. kvk =0 ⇔ =0 (Pozitif tanımlılık 2)
                   N3. kvk = ||kvk (Skalerin dı¸sarı çıkması)
                   N4. kv + wk ≤ kvk + kwk (Üçgen e¸sitsizli˘ gi).
               Not : N1,N3 ve N4 ¸sartları ile birlikte, N2 ¸sartından sadece yeter ¸sart sa˘ glanırsa, yani
               v =0 ⇒ kvk =0 ¸sartı sa˘ glanırsa, bu durumda k·k fonksiyonuna pseudo norm denir.

                                         p
                  Her iç çarpımdan kuk =    (u u) ile norm türetilebilir. Fakat, tersi do˘ gru de˘ gildir.
                                     


               13.13 Alıştırma  R uzayında, x =( 1  2  3 ) ve y =( 1  2  3 ) için,
                               3
                        3
                             3
                     : R × R → R     (x y)= 2 1  1 −  1  2 −  2  1 +2 2  2 +  2  3 +  3  2 +  3  3
              ¸ seklinde tanımlanan iç çarpımdan elde edilen normu bulunuz ve u =(1 2 3) vektörünün normunu
              hesaplayınız.
                                                            √
                                       2
                                                  2
                             2
              Yanıt : kxk =   +( 1 −  2) +( 2 +  3) ve kuk =3 3
                            1                          
                                               Metrik Uzay
                      ¨                               ¥
               13.10    F Metrik Uzay (Metric Space) F
                      §                               ¦
               M bir küme olmak üzere,  : M × M → R fonksiyonu,    ∈ M için,
                   D1.  ( ) ≥ 0    (Pozitif Tanımlılık 1)
                   D2.  ( )=0 ⇔  =       (Pozitif Tanımlılık 2)
                   D3.  ( )=  ( )    (Simetri)
                   D4.  ( ) ≤  ( )+  ( )  (Üçgen E¸sitsizli˘ gi)
               özelliklerini sa˘ glarsa  fonksiyonuna metrik, M kümesine de, bu metrikle birlikte metrik
               uzay denir. Ayrıca, D1, D3, D4 ¸sartlarını sa˘ glayan, ve D3 ko¸sulunun sadece
                                              =  ⇒  ( )=0
               tek tarafını sa˘ glayan metri˘ ge pseudo metrik denir. A¸sa˘ gıda, bazı metrik örnekleri verilmi¸stir.
               Bunların metrik olma ko¸sullarını sa˘ gladı˘ gını göstermeye çalı¸sınız.
   193   194   195   196   197   198   199   200   201   202   203