Page 198 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Genelle¸stirilmi¸s Skaler Çarpım Uzaylarında Dönme Matrisleri 197

3
13.12 Alıştırma R uzayında, x =( 1  2  3 ) ve y =( 1  2  3 ) için,
 1  1  3  3
(x y)= +  2  2 −
2 2
¸ seklinde tanımlanan skaler çarpıma uygun olarak bir vektörel çarpım tanımlayınız. Bu vektörel çarpımı
kullanarak, bu uzayda, x =(1 2 5) ve y =(3 2 1) vektörlerine ­ortogonal bir vektör bulunuz.
 
 
2e 1 e 2 −2e 3
1  
Yanıt : x × y =   1  2  3   u = x × y =(−8 7 4) 
2  
 
 1  2  3
Normlu Uzay

¨ ¥
13.9 F Normlu Uzay F
§ ¦
V, reel sayılar cismi üzerinde vektör uzayı olsun. V üzerinde tanımlanan k·k : V → R +
fonksiyonu, her v w vektörleri ve her  skaleri için, a¸sa˘ gıdaki ko¸sulları sa˘ glarsa k·k fonksiy­
onuna norm denir. V uzayına da normlu uzay denir.
N1. kvk ≥ 0 (Pozitif tanımlılık 1)
N2. kvk =0 ⇔ =0 (Pozitif tanımlılık 2)
N3. kvk = ||kvk (Skalerin dı¸sarı çıkması)
N4. kv + wk ≤ kvk + kwk (Üçgen e¸sitsizli˘ gi).
Not : N1,N3 ve N4 ¸sartları ile birlikte, N2 ¸sartından sadece yeter ¸sart sa˘ glanırsa, yani
v =0 ⇒ kvk =0 ¸sartı sa˘ glanırsa, bu durumda k·k fonksiyonuna pseudo norm denir.

p
Her iç çarpımdan kuk =  (u u) ile norm türetilebilir. Fakat, tersi do˘ gru de˘ gildir.


13.13 Alıştırma R uzayında, x =( 1  2  3 ) ve y =( 1  2  3 ) için,
3
3
3
 : R × R → R   (x y)= 2 1  1 −  1  2 −  2  1 +2 2  2 +  2  3 +  3  2 +  3  3
¸ seklinde tanımlanan iç çarpımdan elde edilen normu bulunuz ve u =(1 2 3) vektörünün normunu
hesaplayınız.
 √
2
2
2
Yanıt : kxk =  +( 1 −  2) +( 2 +  3) ve kuk =3 3
 1 
Metrik Uzay
¨ ¥
13.10 F Metrik Uzay (Metric Space) F
§ ¦
M bir küme olmak üzere,  : M × M → R fonksiyonu,    ∈ M için,
D1.  ( ) ≥ 0 (Pozitif Tanımlılık 1)
D2.  ( )=0 ⇔  =  (Pozitif Tanımlılık 2)
D3.  ( )=  ( ) (Simetri)
D4.  ( ) ≤  ( )+  ( ) (Üçgen E¸sitsizli˘ gi)
özelliklerini sa˘ glarsa  fonksiyonuna metrik, M kümesine de, bu metrikle birlikte metrik
uzay denir. Ayrıca, D1, D3, D4 ¸sartlarını sa˘ glayan, ve D3 ko¸sulunun sadece
 =  ⇒  ( )=0
tek tarafını sa˘ glayan metri˘ ge pseudo metrik denir. A¸sa˘ gıda, bazı metrik örnekleri verilmi¸stir.
Bunların metrik olma ko¸sullarını sa˘ gladı˘ gını göstermeye çalı¸sınız.