Page 200 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 200
Genelle¸stirilmi¸s Skaler Çarpım Uzaylarında Dönme Matrisleri 199
Genell¸stirilmi¸s Ortogonal, Simetrik ve Ters Simetrik Matrisler
13.1 Teorem V, boyutlu reel vektör uzayı, u vV olmak üzere (u v)= u v
skaler çarpımı ile verilsin. Buna göre, R ∈ M × (R) matrisleri için,
R ortogonal matris ⇔ R R = ve det = ±1
simetrik matristir ⇔ =
ters simetrik matristir ⇔ = −
olur.
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Her u vV için,
(Ru Rv)= (u v)
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan R dönü¸sümüne ortogonal dönü¸süm denir. Buna göre,
(Ru Rv)=(Ru) (Rv)= u R Ru;
(u v)= u v
e¸sitliklerinden, bir R dönü¸sümüne kar¸sılık gelen matrisin ortogonal olması için gerek ve yeter
ko¸sul,
R R =
e¸sitli˘ ginin sa˘ glanmasıdır. Bu e¸sitli˘ gin determinantı alınırsa,
¡ ¢
det R R =det R det det R =det
e¸sitli˘ ginden,
2
(det R) =1 ⇒ det R = ±1
bulunur. O halde, herhangi bir reel vektör uzayında bir ortogonal matrisin determinantı ±1
olacaktır. Yani, bir ortogonal matris daima tersinir bir matristir.
Di˘ ger taraftan, her u vV için,
(u v)= (uv)
ise, dönü¸sümü, simetriktir. Buna göre,
(u v)=(u) (v)= u u;
(uv)= u v
e¸sitliklerinden,
=
elde edilir. Benzer ¸sekilde, ters simetrik ise, = − olacaktır.