Page 200 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 200

Genelle¸stirilmi¸s Skaler Çarpım Uzaylarında Dönme Matrisleri                 199



                Genell¸stirilmi¸s Ortogonal, Simetrik ve Ters Simetrik Matrisler


                 13.1   Teorem V,  boyutlu reel vektör uzayı, u vV olmak üzere  (u v)= u v
                                                                                          
                skaler çarpımı ile verilsin. Buna göre, R  ∈ M × (R) matrisleri için,
                                                          
                                 R ortogonal matris ⇔ R R =  ve det  = ±1
                                                         
                                 simetrik matristir  ⇔   = 
                                                          
                             ters simetrik matristir  ⇔   = −
                olur.



              ¨           ¥
               F Kanıt F
              §           ¦
              Her u vV için,
                                              (Ru Rv)=  (u v)

              e¸sitli˘ gini sa˘ glayan R dönü¸sümüne ortogonal dönü¸süm denir. Buna göre,
                                                       
                                                                   
                                                                      
                                   (Ru Rv)=(Ru)  (Rv)= u R Ru;
                                                   
                                      (u v)= u v
              e¸sitliklerinden, bir R dönü¸sümüne kar¸sılık gelen matrisin ortogonal olması için gerek ve yeter
              ko¸sul,
                                                    
                                                  R R = 
              e¸sitli˘ ginin sa˘ glanmasıdır. Bu e¸sitli˘ gin determinantı alınırsa,
                                       ¡      ¢
                                                       
                                          
                                   det R R =det R det  det R =det 
              e¸sitli˘ ginden,
                                                 2
                                          (det R) =1 ⇒ det R = ±1
              bulunur. O halde, herhangi bir reel vektör uzayında bir ortogonal matrisin determinantı ±1
              olacaktır. Yani, bir ortogonal matris daima tersinir bir matristir.
              Di˘ ger taraftan, her u vV için,
                                              (u v)=  (uv)
              ise,  dönü¸sümü, simetriktir. Buna göre,
                                                        
                                                                   
                                      (u v)=(u)  (v)= u  u;
                                                    
                                      (uv)= u v
              e¸sitliklerinden,
                                                    
                                                    = 
                                                         
              elde edilir. Benzer ¸sekilde,  ters simetrik ise,   = − olacaktır.
   195   196   197   198   199   200   201   202   203   204   205