Page 200 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Genelle¸stirilmi¸s Skaler Çarpım Uzaylarında Dönme Matrisleri 199

Genell¸stirilmi¸s Ortogonal, Simetrik ve Ters Simetrik Matrisler

13.1 Teorem V,  boyutlu reel vektör uzayı, u vV olmak üzere  (u v)= u v

skaler çarpımı ile verilsin. Buna göre, R  ∈ M × (R) matrisleri için,

R ortogonal matris ⇔ R R =  ve det  = ±1

 simetrik matristir ⇔   = 

 ters simetrik matristir ⇔   = −
olur.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Her u vV için,
 (Ru Rv)=  (u v)

e¸sitli˘ gini sa˘ glayan R dönü¸sümüne ortogonal dönü¸süm denir. Buna göre,



 (Ru Rv)=(Ru)  (Rv)= u R Ru;

 (u v)= u v
e¸sitliklerinden, bir R dönü¸sümüne kar¸sılık gelen matrisin ortogonal olması için gerek ve yeter
ko¸sul,

R R = 
e¸sitli˘ ginin sa˘ glanmasıdır. Bu e¸sitli˘ gin determinantı alınırsa,
¡ ¢


det R R =det R det  det R =det 
e¸sitli˘ ginden,
2
(det R) =1 ⇒ det R = ±1
bulunur. O halde, herhangi bir reel vektör uzayında bir ortogonal matrisin determinantı ±1
olacaktır. Yani, bir ortogonal matris daima tersinir bir matristir.
Di˘ ger taraftan, her u vV için,
 (u v)=  (uv)
ise,  dönü¸sümü, simetriktir. Buna göre,

 
 (u v)=(u)  (v)= u  u;

 (uv)= u v
e¸sitliklerinden,

  = 

elde edilir. Benzer ¸sekilde,  ters simetrik ise,   = − olacaktır.