Page 201 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 201

200                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir


              Örnek 13.9
              R uzayını,  : R ×R → R,  (x y)=  1  1 +2 2  2 − 1  2 − 2  1 iç çarpımıyla birlikte göz önüne
                            2
                                2
               2
              alalım. Bu skaler çarpım uzayında ters simetrik matrislerin hangi formda oldu˘ gunu bulunuz.
                                                           ∙         ¸
                                                              1   −1
              Çözüm : Skaler çarpım ile ili¸skilendirilmi¸smatris,  =  oldu˘ gundan,
                                                             −1   2
                                                     ∙      ¸
                                                         
                                                  =
                                                         
                                      
              bir ters simetrik matris ise,   +  =0 matris e¸sitli˘ ginden,  = −  =2  = − ve  = 
              olur. Buna göre, bu skaler çarpım uzayında bir ters simetrik matris :
                                                    ∙         ¸
                                                      − 2
                                                =
                                                      −   
              formunda olacaktır.


                Genell¸stirilmi¸s 2x2 Türünden Ters Simetrik Matrisler


                                 2
                 13.2   Teorem R , iki boyutlu reel vektör uzayı ve u v ∈ R olmak üzere
                                                                       2
                 (u v)= u v skaler çarpımı ile verilsin.  =[  ] olmak üzere, bu uzaydaki herhangi
                           
                bir ters simetrik matris :
                                                ∙                ¸
                                                   − 12 − 22
                                             =
                                                    11    12
                formundadır.


              ¨           ¥
               F Kanıt F
              §           ¦
               skaler çarpımına göre,  simetrik oldu˘ gundan,
                                                   ∙          ¸
                                                      11  12
                                                =
                                                      12  22
                               
              olacaktır. ¸Simdi,   +  =0 olacak ¸sekildeki
                                                   ∙          ¸
                                                      11  12
                                                =
                                                      21  22
                                  
              matrislerini bulalım.   +  =0 e¸sitli˘ ginden,
                                   ⎧
                                                11  11 +  21  12 =0
                                   ⎨
                                                12  12 +  22  22 =0
                                   ⎩
                                       11  12 +  12  11 +  21  22 +  22  12 =0
              denklem sistemi elde edilir.  11 6=0 olmak üzere,  21 =  11  olsun. Bu durumda, birinci
              denklemden,
                                                  11 = − 12 
              olur ve sistem,
                                       ½
                                           12  12 +  22  22 =0
                                           12  11 +  22  12 =(− det ) 
   196   197   198   199   200   201   202   203   204   205   206