Page 201 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

200 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Örnek 13.9
R uzayını,  : R ×R → R,  (x y)=  1  1 +2 2  2 − 1  2 − 2  1 iç çarpımıyla birlikte göz önüne
2
2
2
alalım. Bu skaler çarpım uzayında ters simetrik matrislerin hangi formda oldu˘ gunu bulunuz.
∙ ¸
1 −1
Çözüm : Skaler çarpım ile ili¸skilendirilmi¸smatris,  = oldu˘ gundan,
−1 2
∙ ¸
 
 =
 

bir ters simetrik matris ise,   +  =0 matris e¸sitli˘ ginden,  = −  =2  = − ve  = 
olur. Buna göre, bu skaler çarpım uzayında bir ters simetrik matris :
∙ ¸
− 2
 =
−  
formunda olacaktır.

Genell¸stirilmi¸s 2x2 Türünden Ters Simetrik Matrisler

2
13.2 Teorem R , iki boyutlu reel vektör uzayı ve u v ∈ R olmak üzere
2
 (u v)= u v skaler çarpımı ile verilsin.  =[  ] olmak üzere, bu uzaydaki herhangi

bir ters simetrik matris :
∙ ¸
− 12 − 22
 =
 11  12
formundadır.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
 skaler çarpımına göre,  simetrik oldu˘ gundan,
∙ ¸
 11  12
 =
 12  22

olacaktır. ¸Simdi,   +  =0 olacak ¸sekildeki
∙ ¸
 11  12
 =
 21  22

matrislerini bulalım.   +  =0 e¸sitli˘ ginden,
⎧
 11  11 +  21  12 =0
⎨
 12  12 +  22  22 =0
⎩
 11  12 +  12  11 +  21  22 +  22  12 =0
denklem sistemi elde edilir.  11 6=0 olmak üzere,  21 =  11  olsun. Bu durumda, birinci
denklemden,
 11 = − 12 
olur ve sistem,
½
 12  12 +  22  22 =0
 12  11 +  22  12 =(− det ) 