Page 201 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 201
200 Kuaterniyonlar ve Geometri Mustafa Özdemir
Örnek 13.9
R uzayını, : R ×R → R, (x y)= 1 1 +2 2 2 − 1 2 − 2 1 iç çarpımıyla birlikte göz önüne
2
2
2
alalım. Bu skaler çarpım uzayında ters simetrik matrislerin hangi formda oldu˘ gunu bulunuz.
∙ ¸
1 −1
Çözüm : Skaler çarpım ile ili¸skilendirilmi¸smatris, = oldu˘ gundan,
−1 2
∙ ¸
=
bir ters simetrik matris ise, + =0 matris e¸sitli˘ ginden, = − =2 = − ve =
olur. Buna göre, bu skaler çarpım uzayında bir ters simetrik matris :
∙ ¸
− 2
=
−
formunda olacaktır.
Genell¸stirilmi¸s 2x2 Türünden Ters Simetrik Matrisler
2
13.2 Teorem R , iki boyutlu reel vektör uzayı ve u v ∈ R olmak üzere
2
(u v)= u v skaler çarpımı ile verilsin. =[ ] olmak üzere, bu uzaydaki herhangi
bir ters simetrik matris :
∙ ¸
− 12 − 22
=
11 12
formundadır.
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
skaler çarpımına göre, simetrik oldu˘ gundan,
∙ ¸
11 12
=
12 22
olacaktır. ¸Simdi, + =0 olacak ¸sekildeki
∙ ¸
11 12
=
21 22
matrislerini bulalım. + =0 e¸sitli˘ ginden,
⎧
11 11 + 21 12 =0
⎨
12 12 + 22 22 =0
⎩
11 12 + 12 11 + 21 22 + 22 12 =0
denklem sistemi elde edilir. 11 6=0 olmak üzere, 21 = 11 olsun. Bu durumda, birinci
denklemden,
11 = − 12
olur ve sistem,
½
12 12 + 22 22 =0
12 11 + 22 12 =(− det )