Page 196 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 196
Genelle¸stirilmi¸s Skaler Çarpım Uzaylarında Dönme Matrisleri 195
Örnek 13.5
3
V = R olmak üzere, x =( 1 2 3 ) ve y =( 1 2 3 ) için,
(x y)= 2 1 1 +9 2 2 +2 3 3
p
¸ seklinde tanımlanan iç çarpımı göz önüne alalım. ∆ = |det | =6 oldu˘ gundan, (V) uzayındaki
vektörel çarpım,
¯ ¯ ¯ ¯
¯ e 1 2 e 2 9 e 3 2 ¯ ¯ 3e 1 2e 2 33e 3 ¯
¯ ¯ ¯ ¯
x × y =6 ¯ 1 2 3 ¯ = ¯ 1 2 3 ¯
¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯
1 2 3 1 2 3
¸ seklinde tanımlanır.
Örne˘ gin, u =(1 2 3) ve v (3 4 7) için,
¯ ¯
¯ ¯ µ ¶
3e 1 2e 2 33e 3
¯ ¯ 4
u × v = ¯ 1 2 3 ¯ = 6 −6
¯ ¯ 3
¯ 3 4 7 ¯
elde edilir. Elde edilen bu vektörün, u ve v vektörlerine −ortogonal oldu˘ guna dikkat ediniz. Ayrıca,
(u v)
cos =
kukkvk
olmak üzere, ku × vk = kukkvk sin e¸sitli˘ ginin sa˘ glandı˘ gını da görünüz.
Örnek 13.6
4
V = R olmak üzere, x =( 1 2 3 4 ) ve y =( 1 2 3 4 ) için,
2
(x y)= − 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4
¸ seklinde tanımlanan, skaler çarpımla birlikte (Bu skaler çarpıma Minkowski skaler çarpımı denir ve
görecelilik teorisinde önemlidir.) bu uzaya Minkowski Uzay zamanı denir.
Bu skaler çarpımla ili¸skilendirilmi¸smatris,
⎡ 2 ⎤
− 000
⎢ 0 100 ⎥
= ⎢ ⎥
⎣ 0 010 ⎦
0 001
¸ seklindedir ve (V) uzayındaki vektörel çarpım =( 1 2 3 4 ) olmak üzere,
¯ 2 ¯
−e 1 e 2 e 3 e 4
¯ ¯
¯ ¯
¯ 11 12 13 14 ¯
u 1 ×u 2 ×u 3 = ¯ ¯
¯ ¯
21 22 23 24
¯ ¯
¯ ¯
31 32 33 34
¸ seklinde tanımlanır.
13.11 Alıştırma R uzayında, x =( 1 2 3 ) ve y =( 1 2 3 ) için,
3
(x y)= − 1 1 + 2 2 + 3 3
¸ seklinde tanımlanan Lorentz skaler çarpımı alalım. (V) uzayındaki vektörel çarpımı belirleyiniz. Bu
vektörel çarpım da, Lorentziyen Vektörel Çarpım olarak bilinir.
−e 1
e 2 e 3
Yanıt : x × y = 1 2 3
1 2 3
