Page 196 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 196

Genelle¸stirilmi¸s Skaler Çarpım Uzaylarında Dönme Matrisleri                 195

              Örnek 13.5
                   3
              V = R olmak üzere, x =( 1  2  3 ) ve y =( 1  2  3 ) için,
                                         (x y)= 2 1  1 +9 2  2 +2 3  3
                                                           p
              ¸ seklinde tanımlanan iç çarpımı göz önüne alalım. ∆ =  |det | =6 oldu˘ gundan, (V) uzayındaki
              vektörel çarpım,
                                       ¯                  ¯  ¯                 ¯
                                       ¯  e 1 2 e 2 9 e 3 2  ¯  ¯  3e 1  2e 2 33e 3  ¯
                                       ¯                  ¯  ¯                 ¯
                               x × y =6  ¯   1   2   3  ¯  =  ¯   1   2   3  ¯
                                       ¯                  ¯  ¯                 ¯
                                       ¯                  ¯  ¯                 ¯
                                           1    2    3       1    2    3
              ¸ seklinde tanımlanır.
              Örne˘ gin, u =(1 2 3) ve v (3 4 7) için,
                                            ¯                ¯
                                            ¯                ¯  µ        ¶
                                             3e 1  2e 2 33e 3
                                            ¯                ¯      4
                                    u × v =  ¯  1   2     3  ¯  =  6  −6
                                            ¯                ¯      3
                                            ¯  3    4     7  ¯
              elde edilir. Elde edilen bu vektörün, u ve v vektörlerine −ortogonal oldu˘ guna dikkat ediniz. Ayrıca,
                                                       (u v)
                                                cos  =
                                                       kukkvk
              olmak üzere, ku × vk = kukkvk sin  e¸sitli˘ ginin sa˘ glandı˘ gını da görünüz.


              Örnek 13.6
                   4
              V = R olmak üzere, x =( 1  2  3  4 ) ve y =( 1  2  3  4 ) için,
                                                 2
                                      (x y)= −  1  1 +  2  2 +  3  3 +  4  4
              ¸ seklinde tanımlanan, skaler çarpımla birlikte (Bu skaler çarpıma Minkowski skaler çarpımı denir ve
              görecelilik teorisinde önemlidir.) bu uzaya Minkowski Uzay zamanı denir.
              Bu skaler çarpımla ili¸skilendirilmi¸smatris,
                                                 ⎡   2          ⎤
                                                   −   000
                                                 ⎢  0   100     ⎥
                                             =  ⎢              ⎥
                                                 ⎣  0   010 ⎦
                                                    0   001
              ¸ seklindedir ve (V) uzayındaki vektörel çarpım   =( 1  2  3  4 ) olmak üzere,
                                                  ¯      2               ¯
                                                   −e 1   e 2  e 3  e 4
                                                  ¯                      ¯
                                                  ¯                      ¯
                                                  ¯   11    12   13   14  ¯
                                    u 1 ×u 2 ×u 3 =   ¯                 ¯
                                                  ¯                      ¯
                                                      21    22   23   24
                                                  ¯                      ¯
                                                  ¯                      ¯
                                                      31    32   33   34
              ¸ seklinde tanımlanır.

               13.11 Alıştırma  R uzayında, x =( 1  2  3 ) ve y =( 1  2  3 ) için,
                               3
                                          (x y)= − 1  1 +  2  2 +  3  3
              ¸ seklinde tanımlanan Lorentz skaler çarpımı alalım. (V) uzayındaki vektörel çarpımı belirleyiniz. Bu
              vektörel çarpım da, Lorentziyen Vektörel Çarpım olarak bilinir.
                                       
                            −e 1       
                                  e 2  e 3
                                       
              Yanıt : x × y =     1   2   3    
                                       
                                       
                              1   2   3
   191   192   193   194   195   196   197   198   199   200   201