Page 193 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 193

192                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir


              Literatürde, bazen skaler çarpım uzayına, iç çarpım uzayı da denilmektedir. Fakat, bu kitapta iç
              çarpım uzayı denilince, pozitif tanımlı, simetrik, bilineer form anla¸sılacaktır. Buradaki skaler
                                                                                ˙
              çarpım uzayı tanımında görüldü˘ gü gibi, pozitif tanımlılık ko¸sulu yoktur. Iç çarpımda ise bu
              ko¸sulu arayaca˘ gız. A¸sa˘ gıda iç çarpım uzayı tanımı verilmi¸stir.


              Örnek 13.1
                                      2
              (Lorentz Skaler Çarpımı) R uzayında,
              x =( 1  2 ) ve y =( 1  2 ) için,
                                       2
                                            2
                                    : R × R → R       (x y)= − 1  1 +  2  2
              ¸ seklinde tanımlanan bilineer formun bir skaler çarpım oldu˘ gunu gösteriniz. Bu çarpıma (− +) i¸saretli
              Lorentz Skaler çarpımı denir. Literatürde, Lorentz iç çarpımı ¸seklinde de kullanılır. Fakat, pozitif
              tanımlı olmadı˘ gı için, a¸sa˘ gıda tanımladı˘ gımız ¸sekliyle bir iç çarpım de˘ gildir. Lorentz skaler çarpımıyla
              birlikte, R uzayına Lorentz uzayı (düzlemi) denilir. Bu uzayı, R ile gösteririz.
                      2
                                                                  2
                                                                  1
              Çözüm : Verilen bilineer formun, skaler çarpım oldu˘ gunu göstermek için, simetrik ve non­degenere
              oldu˘ gunu göstermeliyiz.
                                                (x y)= (y x)
              oldu˘ gundan,  bilineer formu simetriktir. Bu bilineer formla ili¸skilendirilmi¸s standart matris
                                                    ∙        ¸
                                                       −10
                                                 ∗
                                                 =
                                                       0   1
              matrisidir. Bu matris tersinirdir, yani det  6=0’dır. O halde,  bilineer formu non­dejeneredir.
              Non­dejenere oldu˘ gunu, herhangi, u =( 1  2 ) için, (u v)=0 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan v vektörünün
                    
              sadece 0 vektörü oldu˘ gunu göstererek de görebiliriz. Gerçekten, v (v 1  v 2 ) olmak üzere,
              *        u =(1 0) ise, (u v)= 0 e¸sitli˘ ginin sa˘ glanması için, v 1 =0;
              *        u =(0 1) ise, (u v)= 0 e¸sitli˘ ginin sa˘ glanması için, v 2 =0;
              olmalıdır. Yani, her u ∈ R için, (u v)=0 e¸sitli˘ ginin sa˘ glanabilmesi için, v = 0 olmalıdır. Kısaca,
                                                                                
                                   2
              bu uzayda tüm vektörlere dik olan tek vektör 0 sıfır vektörüdür ve bu  bilineer formu non­degeneredir.
                                                  
                                      ˙
                                      Iç Çarpım (Inner Product)

                     ¨                                            ¥
                         ˙
               13.7   F Iç Çarpım (Inner Product or Dot Product) F
                     §                                            ¦
               V bir vektör uzayı olmak üzere,
                                                 : V × V → R

               biçiminde tanımlanan dönü¸süm, her x y z ∈ V ve her   ∈ R için a¸sa˘ gıdaki ko¸sulları
               sa˘ glarsa V vektör uzayına R reel sayılar cismi üzerinde bir iç çarpım uzayı,  dönü¸sümüne
               de V üzerinde bir iç çarpım denir. x ve y vektörlerinin iç çarpımı, (x y) veya hx yi ile
               gösterilir.
                    ½
                  ˙
               • I1.   (x + y z)= ·(x z)+ ·(y z)  (Bilineerlik Özelli˘ gi)
                       (xy+z)= ·(x y)+ ·(x z)
                  ˙
               • I2. (x y)= (y x) (simetri)
                  ˙
               • I3. Her x ∈ V için, (x x) ≥ 0 (Pozitif Tanımlılık ­ 1)
                  ˙
                                     
               • I4. (x x)= 0 ⇔ x = 0 (Pozitif Tanımlılık ­ 2)
                                                                               
               Bu özelliklerden ilk üçü sa˘ glanır ve dördüncü özellikten sadece, x = 0 ⇒ (x x)=0
               ko¸sulu sa˘ glanırsa,  dönü¸sümüne de, V üzerinde bir pseudo (yarı) iç çarpım denir.
   188   189   190   191   192   193   194   195   196   197   198