Page 193 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

192 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Literatürde, bazen skaler çarpım uzayına, iç çarpım uzayı da denilmektedir. Fakat, bu kitapta iç
çarpım uzayı denilince, pozitif tanımlı, simetrik, bilineer form anla¸sılacaktır. Buradaki skaler
˙
çarpım uzayı tanımında görüldü˘ gü gibi, pozitif tanımlılık ko¸sulu yoktur. Iç çarpımda ise bu
ko¸sulu arayaca˘ gız. A¸sa˘ gıda iç çarpım uzayı tanımı verilmi¸stir.

Örnek 13.1
2
(Lorentz Skaler Çarpımı) R uzayında,
x =( 1  2 ) ve y =( 1  2 ) için,
2
2
 : R × R → R   (x y)= − 1  1 +  2  2
¸ seklinde tanımlanan bilineer formun bir skaler çarpım oldu˘ gunu gösteriniz. Bu çarpıma (− +) i¸saretli
Lorentz Skaler çarpımı denir. Literatürde, Lorentz iç çarpımı ¸seklinde de kullanılır. Fakat, pozitif
tanımlı olmadı˘ gı için, a¸sa˘ gıda tanımladı˘ gımız ¸sekliyle bir iç çarpım de˘ gildir. Lorentz skaler çarpımıyla
birlikte, R uzayına Lorentz uzayı (düzlemi) denilir. Bu uzayı, R ile gösteririz.
2
2
1
Çözüm : Verilen bilineer formun, skaler çarpım oldu˘ gunu göstermek için, simetrik ve non­degenere
oldu˘ gunu göstermeliyiz.
(x y)= (y x)
oldu˘ gundan,  bilineer formu simetriktir. Bu bilineer formla ili¸skilendirilmi¸s standart matris
∙ ¸
−10
∗
 =
0 1
matrisidir. Bu matris tersinirdir, yani det  6=0’dır. O halde,  bilineer formu non­dejeneredir.
Non­dejenere oldu˘ gunu, herhangi, u =( 1  2 ) için, (u v)=0 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan v vektörünün

sadece 0 vektörü oldu˘ gunu göstererek de görebiliriz. Gerçekten, v (v 1  v 2 ) olmak üzere,
* u =(1 0) ise, (u v)= 0 e¸sitli˘ ginin sa˘ glanması için, v 1 =0;
* u =(0 1) ise, (u v)= 0 e¸sitli˘ ginin sa˘ glanması için, v 2 =0;
olmalıdır. Yani, her u ∈ R için, (u v)=0 e¸sitli˘ ginin sa˘ glanabilmesi için, v = 0 olmalıdır. Kısaca,

2
bu uzayda tüm vektörlere dik olan tek vektör 0 sıfır vektörüdür ve bu  bilineer formu non­degeneredir.

˙
Iç Çarpım (Inner Product)

¨ ¥
˙
13.7 F Iç Çarpım (Inner Product or Dot Product) F
§ ¦
V bir vektör uzayı olmak üzere,
 : V × V → R

biçiminde tanımlanan dönü¸süm, her x y z ∈ V ve her   ∈ R için a¸sa˘ gıdaki ko¸sulları
sa˘ glarsa V vektör uzayına R reel sayılar cismi üzerinde bir iç çarpım uzayı,  dönü¸sümüne
de V üzerinde bir iç çarpım denir. x ve y vektörlerinin iç çarpımı, (x y) veya hx yi ile
gösterilir.
½
˙
• I1. (x + y z)= ·(x z)+ ·(y z) (Bilineerlik Özelli˘ gi)
(xy+z)= ·(x y)+ ·(x z)
˙
• I2. (x y)= (y x) (simetri)
˙
• I3. Her x ∈ V için, (x x) ≥ 0 (Pozitif Tanımlılık ­ 1)
˙

• I4. (x x)= 0 ⇔ x = 0 (Pozitif Tanımlılık ­ 2)

Bu özelliklerden ilk üçü sa˘ glanır ve dördüncü özellikten sadece, x = 0 ⇒ (x x)=0
ko¸sulu sa˘ glanırsa,  dönü¸sümüne de, V üzerinde bir pseudo (yarı) iç çarpım denir.