Page 193 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 193
192 Kuaterniyonlar ve Geometri Mustafa Özdemir
Literatürde, bazen skaler çarpım uzayına, iç çarpım uzayı da denilmektedir. Fakat, bu kitapta iç
çarpım uzayı denilince, pozitif tanımlı, simetrik, bilineer form anla¸sılacaktır. Buradaki skaler
˙
çarpım uzayı tanımında görüldü˘ gü gibi, pozitif tanımlılık ko¸sulu yoktur. Iç çarpımda ise bu
ko¸sulu arayaca˘ gız. A¸sa˘ gıda iç çarpım uzayı tanımı verilmi¸stir.
Örnek 13.1
2
(Lorentz Skaler Çarpımı) R uzayında,
x =( 1 2 ) ve y =( 1 2 ) için,
2
2
: R × R → R (x y)= − 1 1 + 2 2
¸ seklinde tanımlanan bilineer formun bir skaler çarpım oldu˘ gunu gösteriniz. Bu çarpıma (− +) i¸saretli
Lorentz Skaler çarpımı denir. Literatürde, Lorentz iç çarpımı ¸seklinde de kullanılır. Fakat, pozitif
tanımlı olmadı˘ gı için, a¸sa˘ gıda tanımladı˘ gımız ¸sekliyle bir iç çarpım de˘ gildir. Lorentz skaler çarpımıyla
birlikte, R uzayına Lorentz uzayı (düzlemi) denilir. Bu uzayı, R ile gösteririz.
2
2
1
Çözüm : Verilen bilineer formun, skaler çarpım oldu˘ gunu göstermek için, simetrik ve nondegenere
oldu˘ gunu göstermeliyiz.
(x y)= (y x)
oldu˘ gundan, bilineer formu simetriktir. Bu bilineer formla ili¸skilendirilmi¸s standart matris
∙ ¸
−10
∗
=
0 1
matrisidir. Bu matris tersinirdir, yani det 6=0’dır. O halde, bilineer formu nondejeneredir.
Nondejenere oldu˘ gunu, herhangi, u =( 1 2 ) için, (u v)=0 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan v vektörünün
sadece 0 vektörü oldu˘ gunu göstererek de görebiliriz. Gerçekten, v (v 1 v 2 ) olmak üzere,
* u =(1 0) ise, (u v)= 0 e¸sitli˘ ginin sa˘ glanması için, v 1 =0;
* u =(0 1) ise, (u v)= 0 e¸sitli˘ ginin sa˘ glanması için, v 2 =0;
olmalıdır. Yani, her u ∈ R için, (u v)=0 e¸sitli˘ ginin sa˘ glanabilmesi için, v = 0 olmalıdır. Kısaca,
2
bu uzayda tüm vektörlere dik olan tek vektör 0 sıfır vektörüdür ve bu bilineer formu nondegeneredir.
˙
Iç Çarpım (Inner Product)
¨ ¥
˙
13.7 F Iç Çarpım (Inner Product or Dot Product) F
§ ¦
V bir vektör uzayı olmak üzere,
: V × V → R
biçiminde tanımlanan dönü¸süm, her x y z ∈ V ve her ∈ R için a¸sa˘ gıdaki ko¸sulları
sa˘ glarsa V vektör uzayına R reel sayılar cismi üzerinde bir iç çarpım uzayı, dönü¸sümüne
de V üzerinde bir iç çarpım denir. x ve y vektörlerinin iç çarpımı, (x y) veya hx yi ile
gösterilir.
½
˙
• I1. (x + y z)= ·(x z)+ ·(y z) (Bilineerlik Özelli˘ gi)
(xy+z)= ·(x y)+ ·(x z)
˙
• I2. (x y)= (y x) (simetri)
˙
• I3. Her x ∈ V için, (x x) ≥ 0 (Pozitif Tanımlılık 1)
˙
• I4. (x x)= 0 ⇔ x = 0 (Pozitif Tanımlılık 2)
Bu özelliklerden ilk üçü sa˘ glanır ve dördüncü özellikten sadece, x = 0 ⇒ (x x)=0
ko¸sulu sa˘ glanırsa, dönü¸sümüne de, V üzerinde bir pseudo (yarı) iç çarpım denir.