Page 189 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 189

188                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir



              Bu e¸sitlikte,
              i.  6=0 olmak üzere, θ =0 + ε , dual açısı alınırsa, V =cos θ + N sin θ birim dual
                                               ∗
                 ∗
              kuaterniyonu sadece öteleme ifade edecektir.
              ii.  6=0 olmak üzere, θ = , dual açısı reel ise, V =cos θ +N sin θ birim dual kuaterniyonu
              sadece  açısı kadar dönme ifade edecektir.




              Örnek 12.8
               ()=(2 +3 2 +1) yönlü do˘ grusunu,  ()=( +1 2 2 +1) yönlü do˘ grusuna dönü¸stüren
              vida operatörünü bulunuz.

              Çözüm :  ve  yönlü do˘ grularına kar¸sılık gelen birim has dual kuaterniyonlar sırasıyla :
                                      1                             1
                              Q =      (2i + j +2k + ε (i +4j − 3k)) =  (q 1 + q 2 ε) 
                                      3                             3
                                      1                             1
                              P =      (i +2j +2k + ε (2i + j − 2k)) =  (p 1 + p 2 ε)
                                      3                             3
              olarak bulunur. Önce skaler ve vektörel çarpımı hesaplayalım.
                                             1
                                 Q × P =      (q 1 × p 1 + ε (q 1 × p 2 + q 2 × p 1 ))
                                             9
                                             1
                                         =    (−2i − 2j +3k + ε (10i +3j − 2k))
                                             9
              ve
                                             1
                                  hQ Pi =     (hq 1  p 1 i + ε (hq 1  p 2 i + hq 2  p 1 i))
                                             9
                                             1
                                         =     (8 + 4ε)= cos θ
                                             9
                              q
                                    2
              Buna göre, kQk =  kq 1 k +2ε hq 1  q 2 i e¸sitli˘ gi kullanılırsa,
                                                         √   µ       ¶
                                           1 √            17      32
                                 kQ × Pk =    17 − 64ε =      1 −   ε  =sin θ
                                           9              9       17
              bulunur. Böylece,
                             V   =cos θ + N sin θ
                                     1          1
                                 =     (8 + 4ε)+  (−2i − 2j +3k + ε (10i +3j − 2k))
                                     9          9
                                     1
                                 =     (8 − 2i − 2j +3k + ε (4 + 10i +3j − 2k))
                                     9
              elde edilir. kVk =1 oldu˘ gunu kolayca görebilirsiniz. Bu vida operatörü,  () yönlü do˘ grusunu,
              N birim has dual kuaterniyonuna kar¸sılık gelen yönlü do˘ gru etrafından  = arccos (89) açısı kadar
                                          √
              döndürür ve do˘ gruyla aynı yönde 4 1717 kadar öteler.
   184   185   186   187   188   189   190   191   192   193   194