Page 189 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

188 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Bu e¸sitlikte,
i.  6=0 olmak üzere, θ =0 + ε , dual açısı alınırsa, V =cos θ + N sin θ birim dual
∗
∗
kuaterniyonu sadece öteleme ifade edecektir.
ii.  6=0 olmak üzere, θ = , dual açısı reel ise, V =cos θ +N sin θ birim dual kuaterniyonu
sadece  açısı kadar dönme ifade edecektir.

Örnek 12.8
 ()=(2 +3 2 +1) yönlü do˘ grusunu,  ()=( +1 2 2 +1) yönlü do˘ grusuna dönü¸stüren
vida operatörünü bulunuz.

Çözüm :  ve  yönlü do˘ grularına kar¸sılık gelen birim has dual kuaterniyonlar sırasıyla :
1 1
Q = (2i + j +2k + ε (i +4j − 3k)) = (q 1 + q 2 ε) 
3 3
1 1
P = (i +2j +2k + ε (2i + j − 2k)) = (p 1 + p 2 ε)
3 3
olarak bulunur. Önce skaler ve vektörel çarpımı hesaplayalım.
1
Q × P = (q 1 × p 1 + ε (q 1 × p 2 + q 2 × p 1 ))
9
1
= (−2i − 2j +3k + ε (10i +3j − 2k))
9
ve
1
hQ Pi = (hq 1  p 1 i + ε (hq 1  p 2 i + hq 2  p 1 i))
9
1
= (8 + 4ε)= cos θ
9
q
2
Buna göre, kQk = kq 1 k +2ε hq 1  q 2 i e¸sitli˘ gi kullanılırsa,
√ µ ¶
1 √ 17 32
kQ × Pk = 17 − 64ε = 1 − ε =sin θ
9 9 17
bulunur. Böylece,
V =cos θ + N sin θ
1 1
= (8 + 4ε)+ (−2i − 2j +3k + ε (10i +3j − 2k))
9 9
1
= (8 − 2i − 2j +3k + ε (4 + 10i +3j − 2k))
9
elde edilir. kVk =1 oldu˘ gunu kolayca görebilirsiniz. Bu vida operatörü,  () yönlü do˘ grusunu,
N birim has dual kuaterniyonuna kar¸sılık gelen yönlü do˘ gru etrafından  = arccos (89) açısı kadar
√
döndürür ve do˘ gruyla aynı yönde 4 1717 kadar öteler.