Page 185 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 185

184                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir


              Örnek 12.7
               =(1 2 3) noktasının, n =(1 1 1) vektörüne dik düzlemde 23 kadar döndürülüp, u =(0 1 2)
              vektörü kadar ötelenmesi durumundaki koordinatlarını, dual kuaterniyonlar yardımıyla bulunuz.

              Çözüm : Bu dönme ve ötelemeye kar¸sılık gelen dual kuaterniyon, q =cos 3+ n sin 3 olmak
              üzere,
                                                         ε
                                                 Q = q + uq
                                                         2
              ile belirlidir.
                                             1                   1
                               q =cos 3+ √ (i + j + k)sin 3=   (1 + i + j + k)
                                             3                   2
              oldu˘ gundan,
                                        1               ε
                                Q =      (1 + i + j + k)+  (j +2k)(1 + i + j + k)
                                        2               4
                                        1               ε
                                    =    (1 + i + j + k)+  (−3 − i +3j + k)
                                        2               4
              elde edilir. O halde, istenen nokta
                                              T
                                            R ()= Q (1 + ε) Q  ∗
                                              Q
              dual kuaterniyonuna kar¸sılık gelen noktadır.  = i +2j +3k ise,
                                    ∙                                 ¸
                                     1               ε
                 Q (1 + ε) Q ∗  =    (1 + i + j + k)+  (−3 − i +3j + k) (1 + ε) Q ∗
                                     2               4
                                    ∙                                                    ¸
                                     1               ε                   ε
                                =     (1 + i + j + k)+  (−3 − i +3j + k)+  (1 + i + j + k)  Q ∗
                                     2               4                   2
                                    ∙                                  ¸
                                     1               3ε
                                =     (1 + i + j + k)+  (−5+ i + j +3k) Q ∗
                                     2                4
                                =1 + (3i +2j +4k) ε
              oldu˘ gu hesaplanabilir. Bu dual kuaterniyona kar¸sılık gelen nokta da
                                                   0
                                                  =(3 2 4)
              noktasıdır.
                                                                            1
              2. Yol. Önce  noktasını 23 kadar n ekseni etrafında döndürelim. q =  (1 + i + j + k) oldu˘ gu
                                                                            2
              kullanılırsa,
                                         R ()= qq  −1  =(3i + j +2k)
              elde edilir. Buradan, istenen nokta :
                                 R ()+ u =(3i + j +2k)+ j +2k =3i +2j +4k
              ile belirli,  =(3 2 4) noktasıdır.
                        0


               12.2 Alıştırma   =(6 6 6) noktasının, n =(1 2 2) vektörüne dik düzlemde 23 kadar döndürülüp,
              u =(1 2 3) vektörü kadar ötelenmesi durumundaki koordinatlarını, dual kuaterniyonlar yardımıyla
              bulunuz.
                             √             √        √         √
                     0                                          3).
              Yanıt :  =3i +( 3+9)j +(10 −  3)k =(3  3+9 10 −
   180   181   182   183   184   185   186   187   188   189   190