Page 185 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

184 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Örnek 12.7
 =(1 2 3) noktasının, n =(1 1 1) vektörüne dik düzlemde 23 kadar döndürülüp, u =(0 1 2)
vektörü kadar ötelenmesi durumundaki koordinatlarını, dual kuaterniyonlar yardımıyla bulunuz.

Çözüm : Bu dönme ve ötelemeye kar¸sılık gelen dual kuaterniyon, q =cos 3+ n sin 3 olmak
üzere,
ε
Q = q + uq
2
ile belirlidir.
1 1
q =cos 3+ √ (i + j + k)sin 3= (1 + i + j + k)
3 2
oldu˘ gundan,
1 ε
Q = (1 + i + j + k)+ (j +2k)(1 + i + j + k)
2 4
1 ε
= (1 + i + j + k)+ (−3 − i +3j + k)
2 4
elde edilir. O halde, istenen nokta
T
R ()= Q (1 + ε) Q ∗
Q
dual kuaterniyonuna kar¸sılık gelen noktadır.  = i +2j +3k ise,
∙ ¸
1 ε
Q (1 + ε) Q ∗ = (1 + i + j + k)+ (−3 − i +3j + k) (1 + ε) Q ∗
2 4
∙ ¸
1 ε ε
= (1 + i + j + k)+ (−3 − i +3j + k)+ (1 + i + j + k)  Q ∗
2 4 2
∙ ¸
1 3ε
= (1 + i + j + k)+ (−5+ i + j +3k) Q ∗
2 4
=1 + (3i +2j +4k) ε
oldu˘ gu hesaplanabilir. Bu dual kuaterniyona kar¸sılık gelen nokta da
0
 =(3 2 4)
noktasıdır.
1
2. Yol. Önce  noktasını 23 kadar n ekseni etrafında döndürelim. q = (1 + i + j + k) oldu˘ gu
2
kullanılırsa,
R ()= qq −1 =(3i + j +2k)
elde edilir. Buradan, istenen nokta :
R ()+ u =(3i + j +2k)+ j +2k =3i +2j +4k
ile belirli,  =(3 2 4) noktasıdır.
0

12.2 Alıştırma  =(6 6 6) noktasının, n =(1 2 2) vektörüne dik düzlemde 23 kadar döndürülüp,
u =(1 2 3) vektörü kadar ötelenmesi durumundaki koordinatlarını, dual kuaterniyonlar yardımıyla
bulunuz.
√ √ √ √
0 3).
Yanıt :  =3i +( 3+9)j +(10 − 3)k =(3 3+9 10 −