Page 182 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Dual Sayı Kuaterniyonları ve Vida Hareketi 181

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦

PQ Q P −1 −1
−1
(PQ) = 2 = 2 2 = Q P
kPQk kPk kQk
ve
Q Q 1 −1
−1
(λQ) = 2 = 2 2 = Q
kQk  kQk 
olur.

¨ ¥
12.6 F Dual Kuaterniyonun Kutupsal Gösterimi F
§ ¦
Q = a + bi + cj + dk ∈ H(D) dual kuaterniyonunun kQk normunun reel kısmı sıfırdan
farklı olsun. Bu durumda,
à !
√
2
2
a b + c + d 2 bi + cj + dk
Q = kQk + √
2
2
kQk kQk b + c + d 2
biçiminde yazılabilir. Bu e¸sitlikte,
√
2
2
a b + c + d 2
cos  = ve sin  =
kQk kQk
ve ayrıca,
bi + cj + dk
√ = N
2
2
b + c + d 2
denilirse,
Q = kQk (cos  + N sin )
olacaktır. Bu ifadeye, Q dual kuaterniyonunun kutupsal gösterimi denir. Bu gösterimde,
2
N = −1
oldu˘ gunu görebilirsiniz. Gerçekten de,
2
2
b + c + d 2
2
N = − hN Ni + N × N = − = −1
2
2
b + c + d 2
elde edilir.
Herhangi bir dual kuaterniyonu
Q = kQk (cos  + N sin )
biçiminde yazalım. Burada, kQk  cos  ve sin  ifadelerinin birer dual sayı oldu˘ guna dikkat
ediniz. Bu durumda, kuaterniyonik, dual ve toplam e¸slenik sırasıyla
Q = kQk (cos  − N sin ) 
Q ∗ = kQk ((cos ) + N (sin ) )
∗
∗
∗
∗
∗
Q ∗ = kQk ((cos ) − N (sin ) )
∗
∗
∗
biçiminde tanımlanır.