Page 178 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 178

Dual Sayı Kuaterniyonları ve Vida Hareketi                                    177

                     ¨                                     ¥
               12.3   F Dual KuaterniyonlarınE¸slenikleri F
                     §                                     ¦
               Bir Q = a + bi + cj + dk ∈ H(D) dual kuaterniyonunun kuaterniyonik e¸sleni˘ gi
                                             Q = a − bi − cj − dk
               biçiminde, dual e¸sleni˘ gi ise, dual sayıların e¸slenikleri alınarak
                                              −
                                            Q = a + bi + cj + dk
               biçiminde tanımlanır. Hem kuaterniyonun, hem de dual sayıların e¸slenikleri alınarak elde
               edilen

                                              ∗
                                            Q = a − bi − cj − dk
               dual kuaterniyonuna da, Q dual kuaterniyonunun toplam e¸sleni˘ gi denir. Buna göre, e˘ ger
                                                 Q = p + εq
               ise, e¸slenik, dual e¸slenik ve toplam e¸slenik sırasıyla
                                                Q = p + εq
                                               Q −  = p − εq
                                               Q ∗  = p − εq
               biçiminde tanımlanır.

                Dual Kuaterniyonun E¸sleniklerinin Özeliikleri


                 12.1   Teorem Bir dual kuaterniyonun e¸sleni˘ gi, dual e¸sleni˘ gi ve toplam e¸sleni˘ gi ile
                ilgili a¸sa˘ gıdaki özellikler sa˘ glanır.
                i. P + Q = P + Q
                ii. PQ = Q P
                iii. P = P
                           −
                                       −
                                 −
                iv. (P + Q) = P + Q 
                       −
                             −
                v. (PQ) = P Q 
                                 −
                     − −
                vi. (P ) = P
                                   ∗
                                          ∗
                           ∗
                vii. (P + Q) =(Q) +(Q) 
                         ∗
                               ∗
                viii. (PQ) = Q P  ∗
              ¨           ¥
               F Kanıt F
              §           ¦
              Sadece ii. ve v’i kanıtlayalım. Di˘ gerleri de kolayca görülebilir. P = p 1 + εp 2 ve
              Q = q 1 + εq 2  p   q  ∈ H olsun.
                                       PQ = (p 1 + εp 2 )(q 1 + εq 2 )
                                             = p 1 q 1 + ε (p 2 q 1 + p 1 q 2 )
                                             = p 1 q 1 + ε(p 2 q 1 + p 1 q 2 )
              kuaterniyonlarda e¸slenik özelliklerinden,
                        PQ = q 1 p 1 + ε (q 1 p 2 + q 2 p 1 )=(q 1 + εq 2 )(p 1 + εp 2 )= Q P
              elde edilir.
   173   174   175   176   177   178   179   180   181   182   183