Page 178 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Dual Sayı Kuaterniyonları ve Vida Hareketi 177

¨ ¥
12.3 F Dual KuaterniyonlarınE¸slenikleri F
§ ¦
Bir Q = a + bi + cj + dk ∈ H(D) dual kuaterniyonunun kuaterniyonik e¸sleni˘ gi
Q = a − bi − cj − dk
biçiminde, dual e¸sleni˘ gi ise, dual sayıların e¸slenikleri alınarak
−
Q = a + bi + cj + dk
biçiminde tanımlanır. Hem kuaterniyonun, hem de dual sayıların e¸slenikleri alınarak elde
edilen

∗
Q = a − bi − cj − dk
dual kuaterniyonuna da, Q dual kuaterniyonunun toplam e¸sleni˘ gi denir. Buna göre, e˘ ger
Q = p + εq
ise, e¸slenik, dual e¸slenik ve toplam e¸slenik sırasıyla
Q = p + εq
Q − = p − εq
Q ∗ = p − εq
biçiminde tanımlanır.

Dual Kuaterniyonun E¸sleniklerinin Özeliikleri

12.1 Teorem Bir dual kuaterniyonun e¸sleni˘ gi, dual e¸sleni˘ gi ve toplam e¸sleni˘ gi ile
ilgili a¸sa˘ gıdaki özellikler sa˘ glanır.
i. P + Q = P + Q
ii. PQ = Q P
iii. P = P
−
−
−
iv. (P + Q) = P + Q 
−
−
v. (PQ) = P Q 
−
− −
vi. (P ) = P
∗
∗
∗
vii. (P + Q) =(Q) +(Q) 
∗
∗
viii. (PQ) = Q P ∗
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Sadece ii. ve v’i kanıtlayalım. Di˘ gerleri de kolayca görülebilir. P = p 1 + εp 2 ve
Q = q 1 + εq 2  p   q  ∈ H olsun.
PQ = (p 1 + εp 2 )(q 1 + εq 2 )
= p 1 q 1 + ε (p 2 q 1 + p 1 q 2 )
= p 1 q 1 + ε(p 2 q 1 + p 1 q 2 )
kuaterniyonlarda e¸slenik özelliklerinden,
PQ = q 1 p 1 + ε (q 1 p 2 + q 2 p 1 )=(q 1 + εq 2 )(p 1 + εp 2 )= Q P
elde edilir.