Page 174 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Dual Sayılar Halkası ve Geometrik Yorumları 173

−−→
tadır ve  = x olmak üzere
¯ ¯
¯ i j k ¯
¯ ¯
v = x × v = 132323 =(−43 13 13)
∗
¯
¯
¯ ¯
0 1 −1
¯ ¯
olacaktır. Böylece,
1 1 1
B = v + v ε = (1 2 2) + ε (−4 1 1) = (1 − 4ε 2+ ε 2+ ε)
∗
3 3 3
olur.
∗
∗
hA Bi =cos ( + ε )= cos  −  ε sin 
e¸sitli˘ gini kullanalım.
1
hA Bi = h(2 + ε 1+4ε 2 − 3ε)  (1 − 4ε 2+ ε 2+ ε)i
9
1
= h(2 1 2) + ε (1 4 −3)  (1 2 2) + ε (−4 1 1)i
9
1
= (8 − 2ε)
9
oldu˘ gundan,
1
∗
cos  −  ε sin  = (8 − 2ε)
9
e¸sitli˘ ginden,
√
8 17 2
∗
cos  =  sin  = ve  = √
9 9 17
elde edilir.
¸ Simdi de, klasik analitik geometri bilgilerimize θ =  + ε dual açısını bulalım.  ve  do˘ gruları
∗
arasındaki açı,
h(2 1 2)  (1 2 2)i 8
cos  = =
k(2 1 2)kk(1 2 2)k 9
olur. Bu iki do˘ gru arasındaki uzaklık da,
−−→
hu × v i 2
∗
 =  = = √
ku × vk 17
olarak bulunabilir.
¨ ¥
11.14 F D modülü üzerinde Vektörel Çarpım F
3
§ ¦
A = u + εu ve B = v + εv ∈ D olmak üzere,
3
∗
∗
3
× : D × D 3 → D
∗
∗
(A B) → A × B =(u + εu ) × (v + εv )
= u × v + ε (u × v + u × v)
∗
∗
3
biçiminde Öklid vektörel çarpımı yardımıyla tanımlanan vektörel çarpıma, D modülü
üzerinde vektörel çarpım denir. Ayrıca,
i. A × A = 0
ii. A × B = −B × A
iii. (A × B) × C +(B × C) × A +(C × A) × B = 0
özelliklerinin sa˘ glandı˘ gı da kolayca görülebilir.