Page 174 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 174

Dual Sayılar Halkası ve Geometrik Yorumları                                   173

                    −−→
              tadır ve  = x olmak üzere
                                              ¯            ¯
                                              ¯  i   j   k  ¯
                                              ¯            ¯
                                 v = x × v = 132323 =(−43 13 13)
                                   ∗
                                              ¯
                                                           ¯
                                              ¯            ¯
                                               0    1    −1
                                              ¯            ¯
              olacaktır. Böylece,
                                        1           1           1
                          B = v + v ε =   (1 2 2) + ε (−4 1 1) =  (1 − 4ε 2+ ε 2+ ε)
                                    ∗
                                        3           3           3
              olur.
                                                       ∗
                                                                   ∗
                                     hA Bi =cos ( + ε )= cos  −  ε sin 
              e¸sitli˘ gini kullanalım.
                                        1
                             hA Bi =     h(2 + ε 1+4ε 2 − 3ε)  (1 − 4ε 2+ ε 2+ ε)i
                                        9
                                        1
                                    =     h(2 1 2) + ε (1 4 −3)  (1 2 2) + ε (−4 1 1)i
                                        9
                                        1
                                    =     (8 − 2ε)
                                        9
              oldu˘ gundan,
                                                           1
                                                  ∗
                                           cos  −  ε sin  =  (8 − 2ε)
                                                           9
              e¸sitli˘ ginden,
                                                       √
                                            8           17            2
                                                                 ∗
                                     cos  =    sin  =     ve  = √
                                            9           9              17
              elde edilir.
              ¸ Simdi de, klasik analitik geometri bilgilerimize θ =  + ε dual açısını bulalım.  ve  do˘ gruları
                                                               ∗
              arasındaki açı,
                                                 h(2 1 2)  (1 2 2)i  8
                                         cos  =                  =
                                                k(2 1 2)kk(1 2 2)k  9
              olur. Bu iki do˘ gru arasındaki uzaklık da,
                                                         −−→
                                                  hu × v i    2
                                               ∗
                                           =  =             = √
                                                    ku × vk       17
              olarak bulunabilir.
                      ¨                                        ¥
               11.14   F D modülü üzerinde Vektörel Çarpım F
                            3
                      §                                        ¦
               A = u + εu ve B = v + εv ∈ D olmak üzere,
                                               3
                                         ∗
                          ∗
                                    3
                               × : D × D 3  → D
                                                                             ∗
                                                                 ∗
                                    (A B) → A × B =(u + εu ) × (v + εv )
                                            =   u × v + ε (u × v + u × v)
                                                                     ∗
                                                                ∗
                                                                                  3
               biçiminde Öklid vektörel çarpımı yardımıyla tanımlanan vektörel çarpıma, D modülü
               üzerinde vektörel çarpım denir. Ayrıca,
                   i. A × A = 0
                   ii. A × B = −B × A
                   iii. (A × B) × C +(B × C) × A +(C × A) × B = 0
               özelliklerinin sa˘ glandı˘ gı da kolayca görülebilir.
   169   170   171   172   173   174   175   176   177   178   179