Page 175 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

174 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Örnek 11.17
A =(2 1 2) + ε (1 1 1) ve B =(0 2 1) + ε (1 2 1) dual vektörlerinin vektörel çarpımını bulunuz.
Çözüm : A = u + εu  B = v + εv diyelim.
∗
∗
A × B = u × v + ε (u × v + u × v)
∗
∗
e¸sitli˘ gine göre,
u × v =(2 1 2) × (0 2 1) = (−3 −2 4) 
u × v ∗ =(2 1 2) × (1 2 1) = (−3 0 3) 
u × v =(1 1 1) × (0 2 1) = (−1 −1 2)
∗
oldu˘ gundan,
A × B =(−3 −2 4) + ε ((−3 0 3) + (−1 −1 2))
=(−3 −2 4) + ε (−4 −1 5)
elde edilir.

11.27 Alıştırma A =(3 1 1) + ε (2 1 2) ve B =(1 0 1) + ε (3 1 0) dual vektörlerinin vektörel
çarpımını bulunuz.
Yanıt : A × B =(1 −2 −1) +  (0 3 −1) 

Dual Vektörel Çarpımının Geometrik Yorumu

11.15 Teorem D uzayında verilen A = u + εu ve B = v + εv birim dual
3
∗
∗
vektörlerine kar¸sılık gelen yönlü do˘ grular sırasıyla   ve   olsun.   ve   do˘ gruları
arasındaki açı  ve uzaklık  olmak üzere,
∗
kA × Bk =sin ( + ε )
∗
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Lagrange özde¸sli˘ gi kullanılarak,
p
kA × Bk = hA × B A × Bi
s
¯ ¯
¯ hA AihA Bi ¯
= ¯ ¯
¯ ¯
hB AihB Bi
s
¯ ¯
¯ 1 hA Bi ¯
= ¯ ¯
hA Bi
¯ 1 ¯
p
= 1 − hA Bi
p
2
∗
= 1 − cos ( + ε )
=sin ( + ε )
∗
elde edilir.