Page 176 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Dual Sayı Kuaterniyonları ve Vida Hareketi

Bile¸senleri dual sayı olan kuaterniyonlara dual kuaterniyon denir. Dual kuaterniyon cebiri 8
boyutlu bir reel cebir olarak dü¸sünülebilir. Dual kuaterniyon kavramı 1898 yılında Alexan­
der McAulay tarafından tanımlanmı¸s, daha sonra da Rus matematikçi Aleksandr Kotelnikov
tarafından mekanik problemlerine uygulanmı¸stır.

¨ ¥
12.1 F Dual Kuaterniyon F
§ ¦
Kuaterniyonlar kümesindeki birimlerin katsayıları dual sayı alınarak elde edilen yeni sayı
kümesine dual kuaterniyon kümesi denir. Buna göre, dual kuaterniyonlar kümesi
© 2 2 2 ª
H(D)= a + bi + cj + dk : a b c d ∈ D, i = j = k = ijk = −1
biçiminde tanımlanır. a dual sayısına skaler kısım, bi + cj + dk dual vektörüne de vektörel
kısım denir

Buna göre, herhangi bir Q = a + bi + cj + dk ∈ H(D) dual kuaterniyonu,

a =  1 + ε 2  b =  1 + ε 2  c =  1 + ε 2  d =  1 + ε 2 
olmak üzere,

Q =( 1 +  1 i +  1 j +  1 k)+ ε ( 2 +  2 i +  2 j +  2 k)
= p + εq
biçiminde yazılabilir.

Dual kuaterniyonlar için çarpım tablosu a¸sa˘ gıdaki gibidir.

· 1 i j k ε εi εj εk
1 1 i j k ε εi εj εk
i i −1 k −j εi −ε εk −εj
j j −k −1 i εj −εk −ε εi
k k j −i −1 εk εj −εi −ε
ε ε εi εj εk 0 0 0 0
εi εi −ε εk −εj 0 0 0 0
εj εj −εk −ε εi 0 0 0 0
εk εk εj −εi −ε 0 0 0 0

¨ ¥
12.2 F Has Dual Kuaterniyon F
§ ¦
Skaler kısmı sıfır olan dual kuaterniyonlar kümesi
© 2 2 2 ª
H(D) 0 = bi + cj + dk : b c d ∈ D, i = j = k = ijk = −1
biçiminde tanımlanır. Bu kümenin elemanlarına da has (pure) dual kuaterniyon denir.