Page 181 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

180 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

¨ ¥
12.5 F Dual Kuaterniyonun Tersi F
§ ¦
Bir Q = a + bi + cj + dk ∈ H(D) dual kuaterniyonunun tersi,
Q
Q −1 = 2
kQk
e¸sitli˘ giyle tanımlıdır. Tersinin tanımlı olması için, kQk dual sayı de˘ gerinin reel kısmının
sıfırdan farklı olması gerekir. Bu ise, Q = p + εq yazılı¸sında, kpk 6=0 olması durumunda
sa˘ glanır. kpk =0 olması, sadece a b c d dual sayılarının tamamının reel kısmının sıfır
olması durumunda mümkündür. O halde, Q = p+εq dual kuaterniyonunda p 6=0 ise, Q −1
tanımlıdır ve
Q −1 = p −1 ¡ 1 − εqp −1 ¢
ile bulunur. Q = εq formundaki dual kuaterniyonların tersinden ise söz edilemez.

QQ −1 =(p + εq) p −1 ¡ 1 − εqp −1 ¢
¡ −1 ¢¡ −1 ¢
= 1+ εqp 1 − εqp
=1
oldu˘ gunu kolayca kontrol etmek mümkündür.

Örnek 12.6
Q =(2 + 3ε)+ εi +(1+2ε) j +(2 − ε) k dual kuaterniyonunun tersini bulunuz.

Çözüm :
2 2 2 2 2
kQk =(2 + 3ε) + ε +(1+ 2ε) +(2 − ε) =9 + 12ε
oldu˘ gundan,
1
−1
Q = ((2 + 3ε) − εi − (1 + 2ε) j − (2 − ε) k)
9+12ε
9 − 12ε
= ((2 + 3ε) − εi − (1 + 2ε) j − (2 − ε) k)
81
µ ¶ µ ¶ µ ¶
2 1 1 1 2 2 11
= + − εi − + ε j − − ε k
9 27 9 9 27 9 27
elde edilir.

˙
Dual Kuaterniyonun Tersi ile Ilgili Özellikler

12.2 Teorem P Q ∈ H(D) dual kuaterniyonları ve λ ∈ D dual sayısı için, tersleri
var ise a¸sa˘ gıdaki özellikler sa˘ glanır.
i. (PQ) −1 = Q −1 P −1
1
−1
ii. (λQ) = Q −1
λ