Page 181 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 181

180                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir


                     ¨                              ¥
               12.5   F Dual Kuaterniyonun Tersi F
                     §                              ¦
               Bir Q = a + bi + cj + dk ∈ H(D) dual kuaterniyonunun tersi,
                                                          Q
                                                 Q −1  =    2
                                                        kQk
               e¸sitli˘ giyle tanımlıdır. Tersinin tanımlı olması için, kQk dual sayı de˘ gerinin reel kısmının
               sıfırdan farklı olması gerekir. Bu ise, Q = p + εq yazılı¸sında, kpk 6=0 olması durumunda
               sa˘ glanır. kpk =0 olması, sadece a b c d dual sayılarının tamamının reel kısmının sıfır
               olması durumunda mümkündür. O halde, Q = p+εq dual kuaterniyonunda p 6=0 ise, Q −1
               tanımlıdır ve
                                            Q −1  = p −1  ¡ 1 − εqp −1  ¢
               ile bulunur. Q = εq formundaki dual kuaterniyonların tersinden ise söz edilemez.

                                     QQ −1   =(p + εq) p   −1  ¡ 1 − εqp −1 ¢
                                                 ¡       −1 ¢¡       −1 ¢
                                             =    1+ εqp      1 − εqp
                                             =1
               oldu˘ gunu kolayca kontrol etmek mümkündür.




              Örnek 12.6
              Q =(2 + 3ε)+ εi +(1+2ε) j +(2 − ε) k dual kuaterniyonunun tersini bulunuz.

              Çözüm :
                                   2         2   2          2        2
                               kQk =(2 + 3ε) + ε +(1+ 2ε) +(2 − ε) =9 + 12ε
              oldu˘ gundan,
                                         1
                              −1
                             Q     =         ((2 + 3ε) − εi − (1 + 2ε) j − (2 − ε) k)
                                      9+12ε
                                      9 − 12ε
                                   =         ((2 + 3ε) − εi − (1 + 2ε) j − (2 − ε) k)
                                         81
                                      µ       ¶         µ       ¶    µ        ¶
                                        2   1     1      1    2        2   11
                                   =      +     − εi −     +   ε j −     −   ε k
                                        9   27    9      9   27        9   27
              elde edilir.

                                           ˙
                Dual Kuaterniyonun Tersi ile Ilgili Özellikler

                 12.2   Teorem P Q ∈ H(D) dual kuaterniyonları ve λ ∈ D dual sayısı için, tersleri
                var ise a¸sa˘ gıdaki özellikler sa˘ glanır.
                i. (PQ) −1  = Q −1 P −1
                             1
                       −1
                ii. (λQ)  =    Q −1
                             λ
   176   177   178   179   180   181   182   183   184   185   186