Page 184 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 184

Dual Sayı Kuaterniyonları ve Vida Hareketi                                    183

                     ¨                                                ¥
               12.7   F  Noktasına Kar¸sılık Gelen Dual Kuaterniyon F
                     §                                                ¦
               Herhangi bir  noktası için,

                                                 P =1 + ε
               biçiminde tanımlanan dual kuaterniyona,  noktasına kar¸sılık gelen dual kuaterniyon diye­
               ce˘ giz. R uzayının noktalarına kar¸sılık gelen dual kuaterniyonların kümesini de
                      3
                                                      1
                                                    H (D)
               ile gösterece˘ giz.



                Birim Dual Kuaterniyonla Önce Dönme, Sonra Öteleme


                 12.4   Teorem q =cos  + n sin  birim kuaterniyon ve u herhangi bir vektör olmak
                üzere,
                                                         ε
                                                Q = q + uq
                                                         2
                dual kuaterniyonu verilsin. Herhangi bir  noktasına kar¸sılık gelen dual kuaterniyon
                1+ ε olmak üzere,
                                         1
                                                     1
                                    T
                                  R : H (D) → H (D)
                                    Q
                                                      T
                                               → R ()= Q (1 + ε) Q      ∗
                                                      Q
                dönü¸sümüyle elde edilen dual kuaterniyona kar¸sılık gelen nokta,  noktasının n vektörü
                etrafında 2 açısı kadar döndürülüp, u vektörü kadar ötelenmesiyle elde edilen noktadır.
              ¨           ¥
               F Kanıt F
              §           ¦
              u = −u oldu˘ gu da göz önüne alınarak,
                                                            ε                   ε
                                                      ³         ´         ³         ´
                                                  ∗
                          T
                         R ()= Q (1 + ε) Q = q + uq (1 + ε) q − uq
                          Q
                                                            2                   2
                                           ε                ε
                                     ³               ´³         ´
                                  =    q + uq+εq       q − uq
                                           2                2
                                           ε              ε
                                  = qq + uqq+εqq− qqu
                                           2              2
                                             ε    2           ε    2
                                         2
                                  = kqk + kqk u+εqq− kqk u
                                             2                2
                                                 ε
                                                      2
                                  =1 + εqq+ kqk (u−u)
                                                 2
                                  =1 + ε (qq + u)
              elde edilir. Bu dual kuaterniyona kar¸sılık gelen nokta
                                            qq + u = R q ()+ u
              noktasıdır. Bu nokta  noktasının n etrafında 2 açısı kadar döndürülüp, u vektörü kadar
              ötelenmesiyle elde edilen noktadır.
   179   180   181   182   183   184   185   186   187   188   189