Page 187 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 187

186                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir


                  Has Dual Kuaterniyonların Geometrik Uygulamaları,
                                              Vida Hareketi


              Her has dual kuaterniyonu,
                                            bi + cj + dk = u + εu ∗

              biçiminde bir dual vektör olarak yazabiliriz. O halde, her has dual kuaterniyon, uzayda u ∗
              vektörüne dik olan düzlemde bulunan, do˘ grultusu ve yönü u ile belirli yönlü do˘ gru parçasına
              kar¸sılık gelir. Bu bölümde, bu özellikten yararlanarak, bir vida operatörünü tanımlayaca˘ gız.



                     ¨                   ¥
               12.8   F Vida Hareketi F
                     §                   ¦
               Bir eksen etrafında dönme ve aynı eksen do˘ grultusunda ötelenmeyi ifade eden hareketlere
               vida hareketi denir. Bu hareketi yaptıran operatöre de vida operatörü denir.




                Has Dual Kuaterniyonlar ve Vida Operatörü

                 12.6   Teorem θ =  + ε dual açı ve V =cos θ + N sin θ birim dual kuaterniyon
                                          ∗
                olmak üzere,
                                        L V : H 0 (D) → H 0 (D)
                                                 Q → L V (Q)= VQ
                                                   3
                biçiminde tanımlanan L V dönü¸sümü, R uzayında bir do˘ grultuyu N birim has dual ku­
                aterniyonuna kar¸sılık gelen  N yönlü do˘ gru parçası etrafında,  açısı kadar pozitif yönde
                döndürüp,  N yönünde  miktarında öteleyen bir vida operatörüdür.
                                      ∗
                Benzer ¸sekilde,
                                       R V : H 0 (D) → H 0 (D)
                                                 P → R V (P)= PV
                biçiminde tanımlanan R V dönü¸sümü de, R uzayında bir do˘ grultuyu N birim has dual
                                                       3
                kuaterniyonuna kar¸sılık gelen  N yönlü do˘ gru parçası etrafında,  açısı kadar negatif (ters)
                yönde döndürüp,  N yönünün tersine  miktarında öteleyen bir vida operatörüdür.
                                                  ∗


              ¨           ¥
               F Kanıt F
              §           ¦
              Q ve P herhangi iki has birim dual kuaterniyon olsun. Buna göre, ikisi de birer dual vektör
              kabul edilebilir ve dolayısıyla da uzayda birer yönlü do˘ grulara kar¸sılık gelirler. Bu yönlü
              do˘ gruları sırasıyla,  Q ve  P ile gösterelim. Bu iki yönlü do˘ gru parçası arasındaki dual
              açı denilince,  do˘ gruların aralarındaki açıyı,  ise do˘ gruların arasındaki uzaklı˘ gı göstermek
                                                       ∗
              üzere,
                                                 θ =  + ε ∗
              dual sayısı anla¸sılır. ¸Simdi, Q ve P has birim dual kuaterniyonlarının çarpımını inceleyelim.

                                           QP = −hQ Pi + Q × P
   182   183   184   185   186   187   188   189   190   191   192