Page 187 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

186 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Has Dual Kuaterniyonların Geometrik Uygulamaları,
Vida Hareketi

Her has dual kuaterniyonu,
bi + cj + dk = u + εu ∗

biçiminde bir dual vektör olarak yazabiliriz. O halde, her has dual kuaterniyon, uzayda u ∗
vektörüne dik olan düzlemde bulunan, do˘ grultusu ve yönü u ile belirli yönlü do˘ gru parçasına
kar¸sılık gelir. Bu bölümde, bu özellikten yararlanarak, bir vida operatörünü tanımlayaca˘ gız.

¨ ¥
12.8 F Vida Hareketi F
§ ¦
Bir eksen etrafında dönme ve aynı eksen do˘ grultusunda ötelenmeyi ifade eden hareketlere
vida hareketi denir. Bu hareketi yaptıran operatöre de vida operatörü denir.

Has Dual Kuaterniyonlar ve Vida Operatörü

12.6 Teorem θ =  + ε dual açı ve V =cos θ + N sin θ birim dual kuaterniyon
∗
olmak üzere,
L V : H 0 (D) → H 0 (D)
Q → L V (Q)= VQ
3
biçiminde tanımlanan L V dönü¸sümü, R uzayında bir do˘ grultuyu N birim has dual ku­
aterniyonuna kar¸sılık gelen  N yönlü do˘ gru parçası etrafında,  açısı kadar pozitif yönde
döndürüp,  N yönünde  miktarında öteleyen bir vida operatörüdür.
∗
Benzer ¸sekilde,
R V : H 0 (D) → H 0 (D)
P → R V (P)= PV
biçiminde tanımlanan R V dönü¸sümü de, R uzayında bir do˘ grultuyu N birim has dual
3
kuaterniyonuna kar¸sılık gelen  N yönlü do˘ gru parçası etrafında,  açısı kadar negatif (ters)
yönde döndürüp,  N yönünün tersine  miktarında öteleyen bir vida operatörüdür.
∗

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Q ve P herhangi iki has birim dual kuaterniyon olsun. Buna göre, ikisi de birer dual vektör
kabul edilebilir ve dolayısıyla da uzayda birer yönlü do˘ grulara kar¸sılık gelirler. Bu yönlü
do˘ gruları sırasıyla,  Q ve  P ile gösterelim. Bu iki yönlü do˘ gru parçası arasındaki dual
açı denilince,  do˘ gruların aralarındaki açıyı,  ise do˘ gruların arasındaki uzaklı˘ gı göstermek
∗
üzere,
θ =  + ε ∗
dual sayısı anla¸sılır. ¸Simdi, Q ve P has birim dual kuaterniyonlarının çarpımını inceleyelim.

QP = −hQ Pi + Q × P