Page 192 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 192

Genelle¸stirilmi¸s Skaler Çarpım Uzaylarında Dönme Matrisleri                 191


                              2
                                            2
                                                2
               13.5 Alıştırma  R uzayında B : R × R → R u =( 1  2 ) ve v =(v 1  v 2 ) için,
              B(u v)=  1 v 1 −  2 v 2 ¸seklinde tanımlanan bilineer formun non­dejenere oldu˘ gunu kanıtlayınız.

               13.6 Alıştırma  R uzayında B : R × R → R u =( 1  2 ) ve v =(v 1  v 2 ) için,
                                                2
                                            2
                              2
              B(u v)=  1 v 1 − 2 v 1 +v 2  1 + 2 v 2 ¸seklinde tanımlanan bilineer formun dejenere olması için  kaç
              olmalıdır?
              Yanıt :  = −1 ( = −1 durumunda, her u ∈ V için, B(u v)=0 e¸sitli˘ ginin sadece v =  0 iken sa˘ glanmadı˘ gına,
              v =(1 −1) iken de sa˘ glandı˘ gını görebilirsiniz. Yani, bu uzayda tüm vektörlere ortogonal olan birden fazla vektör
              vardır hem  0 hem de v =(1 −1) vektörü.)


                     ¨                                          ¥
               13.5   F Bilineer Formun Pozitif Tanımlı Olması F
                     §                                          ¦
               B bir bilineer form olmak üzere, her u ∈ V için,
                                                B (u u) ≥ 0 ise
               ve
                                                 B (u u)=0
               olması ancak ve ancak u = 0 iken mümkün ise, B bilineer formuna pozitif tanımlıdır denir.
               E˘ ger,
                                                 B (u u) ≥ 0
               ko¸sulu sa˘ glanıyorsa, u =0 iken B (u u)= 0 ise, ama B (u u)= 0 iken, u 0 vektöründen
               ba¸ska bir vektör de olabiliyorsa, B, yarı pozitif tanımlıdır denir.



               13.7 Alıştırma  R uzayında B : R × R → R u =( 1  2 ) ve v =(v 1  v 2 ) için,
                              2
                                                2
                                            2
              B(u v)=  1 v 1 −  1 v 2 −  2 v 1 +2 2 v 2 ¸seklinde tanımlanan bilineer formun pozitif tanımlı oldu˘ gunu
              kanıtlayınız.
                                   2
                                       2
              Yanıt : B(u)=( 1 −  2) +  2 ≥ 0

                              3
               13.8 Alıştırma  R uzayında B : R × R → R u =( 1  2  3 ) ve v =(v 1  v 2  v 3 ) için,
                                                3
                                            3
              B(u v)= 2 1 v 1 −  1 v 2 −  2 v 1 +  1 v 3 +  3 v 1 +2 2 v 2 +  3 v 3 ¸seklinde tanımlanan bilineer formun
              pozitif tanımlı olması için  en küçük kaç olabilir?
              Yanıt :  =1
                     ¨                                   ¥
               13.6   F Skaler Çarpım (Scalar Product) F
                     §                                   ¦
               V bir vektör uzayı olmak üzere,

                                                 : V × V → R
               biçiminde tanımlanan dönü¸süm,
                   ♣ Bilineer
                   ♣ Simetrik
                   ♣ Nondejenere (Bozulmamı¸s)
               ise,  dönü¸sümüne, V uzayı üzerinde bir skaler çarpım, V vektör uzayına da, R reel sayılar
               cismi üzerinde bir skaler çarpım uzayı denir.
   187   188   189   190   191   192   193   194   195   196   197