Page 192 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Genelle¸stirilmi¸s Skaler Çarpım Uzaylarında Dönme Matrisleri 191

2
2
2
13.5 Alıştırma R uzayında B : R × R → R u =( 1  2 ) ve v =(v 1  v 2 ) için,
B(u v)=  1 v 1 −  2 v 2 ¸seklinde tanımlanan bilineer formun non­dejenere oldu˘ gunu kanıtlayınız.

13.6 Alıştırma R uzayında B : R × R → R u =( 1  2 ) ve v =(v 1  v 2 ) için,
2
2
2
B(u v)=  1 v 1 − 2 v 1 +v 2  1 + 2 v 2 ¸seklinde tanımlanan bilineer formun dejenere olması için  kaç
olmalıdır?
Yanıt :  = −1 ( = −1 durumunda, her u ∈ V için, B(u v)=0 e¸sitli˘ ginin sadece v =  0 iken sa˘ glanmadı˘ gına,
v =(1 −1) iken de sa˘ glandı˘ gını görebilirsiniz. Yani, bu uzayda tüm vektörlere ortogonal olan birden fazla vektör
vardır hem  0 hem de v =(1 −1) vektörü.)

¨ ¥
13.5 F Bilineer Formun Pozitif Tanımlı Olması F
§ ¦
B bir bilineer form olmak üzere, her u ∈ V için,
B (u u) ≥ 0 ise
ve
B (u u)=0
olması ancak ve ancak u = 0 iken mümkün ise, B bilineer formuna pozitif tanımlıdır denir.
E˘ ger,
B (u u) ≥ 0
ko¸sulu sa˘ glanıyorsa, u =0 iken B (u u)= 0 ise, ama B (u u)= 0 iken, u 0 vektöründen
ba¸ska bir vektör de olabiliyorsa, B, yarı pozitif tanımlıdır denir.

13.7 Alıştırma R uzayında B : R × R → R u =( 1  2 ) ve v =(v 1  v 2 ) için,
2
2
2
B(u v)=  1 v 1 −  1 v 2 −  2 v 1 +2 2 v 2 ¸seklinde tanımlanan bilineer formun pozitif tanımlı oldu˘ gunu
kanıtlayınız.
2
2
Yanıt : B(u)=( 1 −  2) +  2 ≥ 0

3
13.8 Alıştırma R uzayında B : R × R → R u =( 1  2  3 ) ve v =(v 1  v 2  v 3 ) için,
3
3
B(u v)= 2 1 v 1 −  1 v 2 −  2 v 1 +  1 v 3 +  3 v 1 +2 2 v 2 +  3 v 3 ¸seklinde tanımlanan bilineer formun
pozitif tanımlı olması için  en küçük kaç olabilir?
Yanıt :  =1
¨ ¥
13.6 F Skaler Çarpım (Scalar Product) F
§ ¦
V bir vektör uzayı olmak üzere,

 : V × V → R
biçiminde tanımlanan dönü¸süm,
♣ Bilineer
♣ Simetrik
♣ Nondejenere (Bozulmamı¸s)
ise,  dönü¸sümüne, V uzayı üzerinde bir skaler çarpım, V vektör uzayına da, R reel sayılar
cismi üzerinde bir skaler çarpım uzayı denir.