Page 191 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 191

190                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir



               13.1 Alıştırma  B : R × R → R u =( 1  2 ) ve v =(v 1  v 2 )  için,
                                      2
                                 2
                                          B(u v)=  1 v 1 −  2 v 1 + v 2  1
              ¸ seklinde tanımlanan fonksiyonun, bir bilineer form oldu˘ gunu kanıtlayınız.



               13.2 Alıştırma  B : R × R → R u =( 1  2 ) ve v =(v 1  v 2 )  için,
                                      2
                                 2
                                       B(u v)=  1 v 1 − ( 1 + v 1 )  2 + v 2  1
              ¸ seklinde tanımlanan fonksiyonun bir bilineer form olmadı˘ gını görünüz.


               13.3 Alıştırma  R uzayında B : R × R → R u =( 1  2 ) ve v =(v 1  v 2 )  için,
                                            2
                                                2
                              2
                                          B(u v)=  1 v 1 −  2 v 1 + v 2  1
              ¸ seklinde tanımlanan bilineer formunun,
              a) R uzayının standart tabanıyla ili¸skilendirilmi¸s matrisini bulunuz.
                 2
                              ©
                                                     ª
              b) R uzayının S = e 1 =(1 1)  e 2 =(2 1) tabanıyla ili¸skilendirilmi¸s matrisini bulunuz.
                  2
                                           − →
                               − →
                                               
                            1   1            1  1
              Yanıt : a)  =        b)  S =      
                           −1   0            3  4
                     ¨                                          ¥
               13.3   F B Bilineer Formuna Göre Ortogonallik F
                     §                                          ¦
               V vektör uzayı üzerinde tanımlanan B bilineer formuna göre, u v ∈ V için, B(u v)=0 ise
                ve  vektörlerine, V uzayında, B bilineer formuna göre ortogonal vektörler denir.

               13.4 Alıştırma  R uzayında B : R × R → R u =( 1  2 ) ve v =(v 1  v 2 ) için,
                              2
                                                2
                                            2
              B(u v)=  1 v 1 − 2 v 1 + 1 v 2 ¸seklinde tanımlanan bilineer forma göre, u =(3 4) vektörüne ortogonal
              olan vektörlerin kümesini bulunuz.
                     ⊥
              Yanıt : u = {( ):  =3} 
                     ¨                                                   ¥
               13.4   F Simetrik ­ Ters Simetrik ­ Dejenere Bilineer Form F
                     §                                                   ¦
               B bir bilineer form olmak üzere, her u v ∈ V için,
                                               B(u v)= B(v u)
               ise B’ye simetrik bilineer form,
                                              B(u v)= −B(v u)
               ise ters simetrik bilineer form denir. Buna ba˘ glı olarak, bilineer form ile ili¸skilendirilmi¸s
                matrisi de simetrik veya ters simetrik olacaktır.
               Di˘ ger yandan, bir bilineer form ile ili¸skilendirilmi¸s matris tersinir ise, bu bilineer forma
               nondejenere bilineer form denir. O halde, det  6=0 ise, B bilineer formuna nondegenere,
               aksi halde degeneredir denir. Bu ise,
                                         her u 6= 0 ∈ V için, B(u v) 6=0
               olacak ¸sekilde bir v ∈ V vektörünün oldu˘ gu anlamına gelir. Ba¸ska bir ifadeyle,
                         her u ∈ V için, B(u v)=0 e¸sitli˘ gi sadece v = 0 iken sa˘ glanıyorsa,
               B’ye nondejenere (bozulmamı)¸s bilineer form denir. Aksi halde, dejenere (bozuk) bili­
               neer form denir. Kısaca, bir bozulmamı¸s bilineer formda, tüm vektörlere ortogonal olan tek
               vektörün sıfır vektörü 0 olması gerekir.
                                  
   186   187   188   189   190   191   192   193   194   195   196