Page 191 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 191
190 Kuaterniyonlar ve Geometri Mustafa Özdemir
13.1 Alıştırma B : R × R → R u =( 1 2 ) ve v =(v 1 v 2 ) için,
2
2
B(u v)= 1 v 1 − 2 v 1 + v 2 1
¸ seklinde tanımlanan fonksiyonun, bir bilineer form oldu˘ gunu kanıtlayınız.
13.2 Alıştırma B : R × R → R u =( 1 2 ) ve v =(v 1 v 2 ) için,
2
2
B(u v)= 1 v 1 − ( 1 + v 1 ) 2 + v 2 1
¸ seklinde tanımlanan fonksiyonun bir bilineer form olmadı˘ gını görünüz.
13.3 Alıştırma R uzayında B : R × R → R u =( 1 2 ) ve v =(v 1 v 2 ) için,
2
2
2
B(u v)= 1 v 1 − 2 v 1 + v 2 1
¸ seklinde tanımlanan bilineer formunun,
a) R uzayının standart tabanıyla ili¸skilendirilmi¸s matrisini bulunuz.
2
©
ª
b) R uzayının S = e 1 =(1 1) e 2 =(2 1) tabanıyla ili¸skilendirilmi¸s matrisini bulunuz.
2
− →
− →
1 1 1 1
Yanıt : a) = b) S =
−1 0 3 4
¨ ¥
13.3 F B Bilineer Formuna Göre Ortogonallik F
§ ¦
V vektör uzayı üzerinde tanımlanan B bilineer formuna göre, u v ∈ V için, B(u v)=0 ise
ve vektörlerine, V uzayında, B bilineer formuna göre ortogonal vektörler denir.
13.4 Alıştırma R uzayında B : R × R → R u =( 1 2 ) ve v =(v 1 v 2 ) için,
2
2
2
B(u v)= 1 v 1 − 2 v 1 + 1 v 2 ¸seklinde tanımlanan bilineer forma göre, u =(3 4) vektörüne ortogonal
olan vektörlerin kümesini bulunuz.
⊥
Yanıt : u = {( ): =3}
¨ ¥
13.4 F Simetrik Ters Simetrik Dejenere Bilineer Form F
§ ¦
B bir bilineer form olmak üzere, her u v ∈ V için,
B(u v)= B(v u)
ise B’ye simetrik bilineer form,
B(u v)= −B(v u)
ise ters simetrik bilineer form denir. Buna ba˘ glı olarak, bilineer form ile ili¸skilendirilmi¸s
matrisi de simetrik veya ters simetrik olacaktır.
Di˘ ger yandan, bir bilineer form ile ili¸skilendirilmi¸s matris tersinir ise, bu bilineer forma
nondejenere bilineer form denir. O halde, det 6=0 ise, B bilineer formuna nondegenere,
aksi halde degeneredir denir. Bu ise,
her u 6= 0 ∈ V için, B(u v) 6=0
olacak ¸sekilde bir v ∈ V vektörünün oldu˘ gu anlamına gelir. Ba¸ska bir ifadeyle,
her u ∈ V için, B(u v)=0 e¸sitli˘ gi sadece v = 0 iken sa˘ glanıyorsa,
B’ye nondejenere (bozulmamı)¸s bilineer form denir. Aksi halde, dejenere (bozuk) bili
neer form denir. Kısaca, bir bozulmamı¸s bilineer formda, tüm vektörlere ortogonal olan tek
vektörün sıfır vektörü 0 olması gerekir.
