Page 186 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Dual Sayı Kuaterniyonları ve Vida Hareketi 185

Önce Öteleme, Sonra Dönmeyle Elde Edilen Nokta

Birim Dual Kuaterniyonla Önce Öteleme Sonra Dönme

12.5 Teorem q =cos  + n sin  birim kuaterniyon ve u herhangi bir vektör olmak
üzere,
ε
Q = q + qu
2
dual kuaterniyonu verilsin. Herhangi bir  noktasına kar¸sılık gelen dual kuaterniyon
1+ ε olmak üzere,
1
1
T R Q : H (D) → H (D)
 → T R Q ()= Q (1 + ε) Q ∗
dönü¸sümüyle elde edilen dual kuaterniyona kar¸sılık gelen nokta,  noktasının u vektörü
kadar ötelenip, n vektörü etrafında 2 açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen noktadır.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
u = −u oldu˘ gu da göz önüne alınarak,
³ ε ´ ³ ε ´
Q (1 + ε) Q ∗ = q + qu (1 + ε) q − qu
2 2
³ ε ´³ ε ´
= q + qu+εq q − uq
2 2
ε ε
= qq + quq+εqq− quq
2 2
µ 1 ¶
2
= kqk +ε qq + (quq − quq)
2
=1+ε (qq + quq)
=1 + εq (+u) q
elde edilir. Bu dual kuaterniyona kar¸sılık gelen nokta
T
R Q ()= q (+u) q = R q ( + u)
noktasıdır. Bu nokta  noktasının u vektörü kadar ötelenip, n etrafında 2 açısı kadar döndü­
rülmesiyle elde edilen noktadır.

12.3 Alıştırma  =(1 2 3) noktasının, u =(0 1 2) vektörü kadar ötelenip, n =(1 1 1) vek­
törüne dik düzlemde 23 kadar döndürülmesi durumundaki koordinatlarını, dual kuaterniyonlar yardımıyla
bulunuz.

Yanıt :  =5i + j +3k =(5 1 3).
0