Page 186 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 186

Dual Sayı Kuaterniyonları ve Vida Hareketi                                    185

                               Önce Öteleme, Sonra Dönmeyle Elde Edilen Nokta


                Birim Dual Kuaterniyonla Önce Öteleme Sonra Dönme


                 12.5   Teorem q =cos  + n sin  birim kuaterniyon ve u herhangi bir vektör olmak
                üzere,
                                                         ε
                                                Q = q + qu
                                                         2
                dual kuaterniyonu verilsin. Herhangi bir  noktasına kar¸sılık gelen dual kuaterniyon
                1+ ε olmak üzere,
                                                     1
                                         1
                                 T  R Q : H (D) → H (D)
                                               →   T  R Q ()= Q (1 + ε) Q ∗
                dönü¸sümüyle elde edilen dual kuaterniyona kar¸sılık gelen nokta,  noktasının u vektörü
                kadar ötelenip, n vektörü etrafında 2 açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen noktadır.



              ¨           ¥
               F Kanıt F
              §           ¦
              u = −u oldu˘ gu da göz önüne alınarak,
                                                ³     ε   ´         ³     ε   ´
                             Q (1 + ε) Q ∗  =    q + qu (1 + ε) q − qu
                                                      2                   2
                                                ³     ε         ´³     ε   ´
                                             =    q + qu+εq       q − uq
                                                      2                2
                                                      ε             ε
                                             = qq + quq+εqq− quq
                                                      2             2
                                                        µ        1             ¶
                                                    2
                                             = kqk +ε qq +        (quq − quq)
                                                                 2
                                             =1+ε (qq + quq)
                                             =1 + εq (+u) q
              elde edilir. Bu dual kuaterniyona kar¸sılık gelen nokta
                                      T
                                       R Q ()= q (+u) q = R q ( + u)
              noktasıdır. Bu nokta  noktasının u vektörü kadar ötelenip, n etrafında 2 açısı kadar döndü­
              rülmesiyle elde edilen noktadır.




               12.3 Alıştırma   =(1 2 3) noktasının, u =(0 1 2) vektörü kadar ötelenip, n =(1 1 1) vek­
              törüne dik düzlemde 23 kadar döndürülmesi durumundaki koordinatlarını, dual kuaterniyonlar yardımıyla
              bulunuz.

              Yanıt :  =5i + j +3k =(5 1 3).
                     0
   181   182   183   184   185   186   187   188   189   190   191