Page 190 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Genelle¸stirilmi¸s Skaler Çarpım Uzaylarında

Dönme Matrisleri

Bu bölümde, genelle¸stirilmi¸s skaler çarpım, vektörel çarpım ile genelle¸stirilmi¸s skaler çarpım
uzaylarında dönme dönü¸sümleri inecelenecektir. Öncelikle, bazı temel tanımları verelim.

¨ ¥
˙
13.1 F Ikilineer Form (Bilineer Form) F
§ ¦
V bir vektör uzayı olmak üzere,
B : V × V → R (u v) → B(u v)
dönü¸sümü, her     ∈ R ve u v w ∈ V için,
B(u + v w)= B(u w)+ B(v w)
B(uv + w)= B(u v)+ B(u w)
e¸sitliklerini sa˘ glıyorsa, B ye V vektör uzayı üzerinde bir bilineer form denir.

¨ ¥
˙
13.2 F B Bilineer Formuyla Ili¸skilendirilmi¸sMatris F
§ ¦
V vektör uzayının bir tabanı S = {e 1  e 2  e  } ve   = B (e   e  ) olmak üzere
 S =[  ] matrisini tanımlayalım. x ve y vektörlerinin S tabanına göre bile¸senleri
×
 
x =( 1  2   ) ve y =( 1  2   )
olsun. E˘ ger, B bir bilineer form ise,


P
B(x y)= x  S y =       (13.1)
=1
biçiminde yazılabilir. Buradaki,
⎡ ⎤
B (e 1  e 1 ) B (e 1  e 2 ) ··· B (e 1  e  )
⎢ B (e 2  e  ) ⎥
B (e 2  e 1 ) B (e 2  e 2 ) ···
⎢ ⎥
 S = ⎢ . . . . . . . . . ⎥
⎣ . . . ⎦
B (e   e 1 ) B (e   e 2 ) ··· B (e   e  )
p
matrisine, B bilineer formunun S tabanıyla ili¸skilendirilmi¸smatrisi denir. ∆ = |det |
sayısına da B bilineer formunun sabiti denir. R uzayında genellikle S tabanı yerine standart

taban alınırsa,  matrisine kısaca B bilineer formuyla ili¸skilendirilmi¸smatrisveya B’nin
temel matrisi denir.
Örne˘ gin, R uzayında u =( 1  2 ) ve v =(v 1  v 2 ) için,
2
2
2
B : R × R → R B(u v)=2 1 v 1 −  2 v 1 − 3 2  1
¸ seklinde tanımlanan bilineer formun R uzayının standart tabanına göre matrisi,
2
∙ ¸ ∙ ¸

B(u v)= u v = £  1  2 ¤ 2 −3 v 1
−1 0 v 2
∙ ¸
2 −3
e¸sitli˘ ginden,  = oldu˘ gu görülür.
−1 0