Page 190 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 190

Genelle¸stirilmi¸s Skaler Çarpım Uzaylarında

                                           Dönme Matrisleri



                  Bu bölümde, genelle¸stirilmi¸s skaler çarpım, vektörel çarpım ile genelle¸stirilmi¸s skaler çarpım
                  uzaylarında dönme dönü¸sümleri inecelenecektir. Öncelikle, bazı temel tanımları verelim.



                         ¨                                  ¥
                             ˙
                   13.1   F Ikilineer Form (Bilineer Form) F
                         §                                  ¦
                   V bir vektör uzayı olmak üzere,
                                           B : V × V → R (u v) → B(u v)
                   dönü¸sümü, her     ∈ R ve u v w ∈ V için,
                                         B(u + v w)= B(u w)+ B(v w)
                                         B(uv + w)= B(u v)+ B(u w)
                   e¸sitliklerini sa˘ glıyorsa, B ye V vektör uzayı üzerinde bir bilineer form denir.

                         ¨                                              ¥
                                                 ˙
                   13.2   F B Bilineer Formuyla Ili¸skilendirilmi¸sMatris F
                         §                                              ¦
                   V vektör uzayının bir tabanı S = {e 1  e 2  e  } ve   = B (e   e  ) olmak üzere
                    S =[  ]  matrisini tanımlayalım. x ve y vektörlerinin S tabanına göre bile¸senleri
                            ×
                                                                                 
                                    x =( 1  2   )  ve  y =( 1  2   )
                   olsun. E˘ ger, B bir bilineer form ise,
                                                                 
                                                       
                                                                P
                                            B(x y)= x  S y =                         (13.1)
                                                               =1
                   biçiminde yazılabilir. Buradaki,
                                          ⎡                                      ⎤
                                            B (e 1  e 1 ) B (e 1  e 2 ) ···  B (e 1  e  )
                                          ⎢                            B (e 2  e  )  ⎥
                                            B (e 2  e 1 ) B (e 2  e 2 ) ···
                                          ⎢                                      ⎥
                                     S = ⎢     . .        . .    . . .    . .   ⎥
                                          ⎣     .          .               .     ⎦
                                            B (e   e 1 ) B (e   e 2 ) ···  B (e   e  )
                                                                                           p
                   matrisine, B bilineer formunun S tabanıyla ili¸skilendirilmi¸smatrisi denir. ∆ =  |det |
                   sayısına da B bilineer formunun sabiti denir. R uzayında genellikle S tabanı yerine standart
                                                            
                   taban alınırsa,  matrisine kısaca B bilineer formuyla ili¸skilendirilmi¸smatrisveya B’nin
                   temel matrisi denir.
                  Örne˘ gin, R uzayında u =( 1  2 ) ve v =(v 1  v 2 ) için,
                            2
                                      2
                                            2
                                 B : R × R → R        B(u v)=2 1 v 1 −  2 v 1 − 3 2  1
                  ¸ seklinde tanımlanan bilineer formun R uzayının standart tabanına göre matrisi,
                                                    2
                                                                ∙          ¸ ∙   ¸
                                               
                                    B(u v)= u v =  £   1  2  ¤  2  −3     v 1
                                                                  −1    0     v 2
                                  ∙          ¸
                                     2   −3
                  e¸sitli˘ ginden,  =        oldu˘ gu görülür.
                                    −1    0
   185   186   187   188   189   190   191   192   193   194   195