Page 194 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 194
Genelle¸stirilmi¸s Skaler Çarpım Uzaylarında Dönme Matrisleri 193
Örnek 13.2
R uzayında, x =( 1 2 ) ve y =( 1 2 ) için,
2
(x y)= 1 1 − 2 1 − 1 2 +3 2 2
¸ seklinde tanımlanan iç çarpım için, =[ ] matrisi, = he e i olmak üzere,
2×2
∙ ¸ ∙ ¸
11 12 1 −1
=[ ] = =
2×2
21 22 −1 3
¸ seklindedir.
Örnek 13.3
R uzayında, x=( 1 2 3 ) ve y=( 1 2 3 ) olmak üzere, a¸sa˘ gıdaki verilen bilineer formların neden
3
iç çarpım olmadıklarını gösteriniz.
3 3
a) h· ·i : R × R → R(x y)= 1 1 − 2 2 + 3 3
3 3
b) h· ·i : R × R → R(x y)= 1 1 + 2 2
3 3
c) h· ·i : R × R → R(x y)= 1 1 + 1 2 + 1 2 + 3 3
Çözüm : a) Pozitif tanımlılık sa˘ glanmaz. Örne˘ gin, x=(0 1 0) vektörü için, (x x)= −1 0’dır.
˙
b) Ikinci pozitif tanımlılık ko¸sulu sa˘ glanmaz. Gerçekten, x =(0 0 1) vektörü için,
(x x)= 0 ⇒ x =0
ko¸sulu sa˘ glanmaz. b)’deki bilineer form bir (yarı) pseudo iç çarpımdır.
c) Pozitif tanımlılık ko¸sulunu sa˘ glanmaz. x =(1 −1 0) vektörü için, (x x) ≥ 0 ko¸sulunun sa˘ glan
madı˘ gı görülebilir.
13.9 Alıştırma R uzayında, x =( 1 2 ) ve y =( 1 2 ) için,
2
2
2
: R × R → R
(x y)= 2 1 1 +3 2 2
(x y)= 1 1 − 2 1 − 1 2 +3 2 2
bilineer formlarının birer iç çarpım oldu˘ gunu gösteriniz.
13.10 Alıştırma R uzayında, x =( 1 2 3 ) ve y =( 1 2 3 ) için,
3
3
3
h· ·i : R × R → R
(x y)=2 1 1 − 1 2 − 2 1 +2 2 2 + 2 3 + 3 2 + 3 3
¸ seklinde tanımlanan bilineer formun bir iç çarpım oldu˘ gunu kanıtlayınız. Standart tabana göre, bu iç
çarpımla ili¸skilendirilmi¸s matrisi bulunuz.
2 −1 0
=[ ]= −1 2 1
0 1 1
