Page 194 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 194

Genelle¸stirilmi¸s Skaler Çarpım Uzaylarında Dönme Matrisleri                 193

              Örnek 13.2
              R uzayında, x =( 1  2 ) ve y =( 1  2 ) için,
               2
                                       (x y)=  1  1 −  2  1 −  1  2 +3 2  2
              ¸ seklinde tanımlanan iç çarpım için,  =[  ]  matrisi,   = he   e  i olmak üzere,
                                                  2×2
                                                 ∙         ¸   ∙         ¸
                                                    11   12     1   −1
                                     =[  ]  =            =
                                           2×2
                                                    21   22    −1   3
              ¸ seklindedir.





              Örnek 13.3
              R uzayında, x=( 1  2  3 ) ve y=( 1  2  3 ) olmak üzere, a¸sa˘ gıdaki verilen bilineer formların neden
               3
              iç çarpım olmadıklarını gösteriniz.
                       3    3
              a) h· ·i : R × R → R(x y)=  1  1 −  2  2 +  3  3
                       3    3
              b) h· ·i : R × R → R(x y)=  1  1 +  2  2
                       3   3
              c) h· ·i : R × R → R(x y)=  1  1 +  1  2 +  1  2 +  3  3


             Çözüm : a) Pozitif tanımlılık sa˘ glanmaz. Örne˘ gin, x=(0 1 0) vektörü için, (x x)= −1  0’dır.
                ˙
              b) Ikinci pozitif tanımlılık ko¸sulu sa˘ glanmaz. Gerçekten, x =(0 0 1) vektörü için,
                                              (x x)= 0 ⇒ x =0
              ko¸sulu sa˘ glanmaz. b)’deki bilineer form bir (yarı) pseudo iç çarpımdır.
              c) Pozitif tanımlılık ko¸sulunu sa˘ glanmaz. x =(1 −1 0) vektörü için, (x x) ≥ 0 ko¸sulunun sa˘ glan­
              madı˘ gı görülebilir.





               13.9 Alıştırma   R uzayında, x =( 1  2 ) ve y =( 1  2 ) için,
                               2
                                                     2
                                                2
                                            : R × R → R
                                       (x y)= 2 1  1 +3 2  2
                                       (x y)=  1  1 −  2  1 −  1  2 +3 2  2
              bilineer formlarının birer iç çarpım oldu˘ gunu gösteriniz.







               13.10 Alıştırma  R uzayında, x =( 1  2  3 ) ve y =( 1  2  3 ) için,
                               3
                                             3
                                        3
                              h· ·i  :  R × R → R
                           (x y)=2 1  1 −  1  2 −  2  1 +2 2  2 +  2  3 +  3  2 +  3  3
              ¸ seklinde tanımlanan bilineer formun bir iç çarpım oldu˘ gunu kanıtlayınız. Standart tabana göre, bu iç
              çarpımla ili¸skilendirilmi¸s matrisi bulunuz.

                                   
                          2   −1  0
               =[ ]=  −1  2  1  
                          0    1  1
   189   190   191   192   193   194   195   196   197   198   199