Page 199 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 199

198                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir



                           Her normdan bir metrik türetilebilir. Fakat, tersi do˘ gru de˘ gildir.


              Gerçekten de, V bir normlu uzay olmak üzere,
                                                                 p
                               : V × V → R,  ( )= k − k =   h −   − i
              ¸ seklinde tanımlanan fonksiyon, V uzayında bir metriktir. Bunu görebiliriz.
              D1)  ( )= k − k ≥ 0,

              D2)  ( )=0 ⇔ k − k =0 ⇔  = 
              D3)  ( )= k − k = k−1( − )k = |−1|k − k = k − k =  ( ) 
              D4)    ∈  için, k − k = k −  +  − k ≤ k − k+k − k =  ( )+ ( ) 
              Dolayısıyla her ( k·k) normlu uzayından bir ( ) metrik uzayı elde edilebilir. Bu ¸sekilde
              elde edilen bu metri˘ ge k·k normundan elde edilen metrik denir.

              Örnek 13.8

               3
              R uzayında, (x y)=   1  1  +  2  2 +   3  3  ¸ seklinde tanımlanan iç çarpıma göre, norm ve metrik
                                    2             2
              nasıl tanımlanır. u =(1 2 3) vektörünün normunu ve  (1 1 1) ile  (2 1 3) noktaları arasındaki
              uzunlu˘ gu bulunuz.
                                           p          p
                                                                    2
                                                         2
                                                               2
              Çözüm : Norm tanımından, kuk =  (u u)=   2+  +  2 bulunur. O halde, u =(1 2 3)
                                                                    3
                                                         1
                                                               2
              için,
                                                 p
                                           kuk =   12+4+92=3
              olur. Metrik tanımına göre,  ( 1  1  1 ) ve  ( 2  2  2 ) için,  ( )= || = k − k e¸sitli˘ gin­
              den,
                                         q
                                                   2            2          2
                                 ( )=  ( 2 −  1 ) 2+( 2 −  1 ) +( 2 −  1 ) 2
                                                                     √
              elde edilir. O halde,  (1 1 1) ile  (2 1 3) noktaları için, || =  102 bulunur.
              Genelle¸stirilmi¸s Simetrik, Ters Simetrik ve Ortogonal Matrisler



                      ¨                                                                  ¥
               13.11    F Genelle¸stirilmi¸s Simetrik, Ters Simetrik ve Ortogonal Dönü¸sümler F
                      §                                                                  ¦
               Bir V reel vektör uzayında, skaler çarpımı koruyan dönü¸sümlere ortogonal dönü¸süm denir.
               Yani,  : V × V → R skaler çarpım olmak üzere, her u vV için,
                                              (Ru Rv)=  (u v)
               e¸sitli˘ gini sa˘ glayan R dönü¸sümüne ortogonal dönü¸süm denir. R dönü¸sümüne kar¸sılık gelen
               matrise de ortogonal matris denir. Ayrıca, her u vV için,
                                              (u v)=  (uv)
               e¸sitli˘ gini sa˘ glayan  dönü¸sümüne simetrik dönü¸süm,her u vV için,
                                             (u v)= − (uv)
               e¸sitli˘ gini sa˘ glayan  dönü¸sümüne de, ters simetrik dönü¸süm denir.  ve  dönü¸sümlerine
               kar¸sılık gelen matrislere de, sırasıyla simetrik ve ters simetrik matrisler denir.
   194   195   196   197   198   199   200   201   202   203   204