Page 199 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 199
198 Kuaterniyonlar ve Geometri Mustafa Özdemir
Her normdan bir metrik türetilebilir. Fakat, tersi do˘ gru de˘ gildir.
Gerçekten de, V bir normlu uzay olmak üzere,
p
: V × V → R, ( )= k − k = h − − i
¸ seklinde tanımlanan fonksiyon, V uzayında bir metriktir. Bunu görebiliriz.
D1) ( )= k − k ≥ 0,
D2) ( )=0 ⇔ k − k =0 ⇔ =
D3) ( )= k − k = k−1( − )k = |−1|k − k = k − k = ( )
D4) ∈ için, k − k = k − + − k ≤ k − k+k − k = ( )+ ( )
Dolayısıyla her ( k·k) normlu uzayından bir ( ) metrik uzayı elde edilebilir. Bu ¸sekilde
elde edilen bu metri˘ ge k·k normundan elde edilen metrik denir.
Örnek 13.8
3
R uzayında, (x y)= 1 1 + 2 2 + 3 3 ¸ seklinde tanımlanan iç çarpıma göre, norm ve metrik
2 2
nasıl tanımlanır. u =(1 2 3) vektörünün normunu ve (1 1 1) ile (2 1 3) noktaları arasındaki
uzunlu˘ gu bulunuz.
p p
2
2
2
Çözüm : Norm tanımından, kuk = (u u)= 2+ + 2 bulunur. O halde, u =(1 2 3)
3
1
2
için,
p
kuk = 12+4+92=3
olur. Metrik tanımına göre, ( 1 1 1 ) ve ( 2 2 2 ) için, ( )= || = k − k e¸sitli˘ gin
den,
q
2 2 2
( )= ( 2 − 1 ) 2+( 2 − 1 ) +( 2 − 1 ) 2
√
elde edilir. O halde, (1 1 1) ile (2 1 3) noktaları için, || = 102 bulunur.
Genelle¸stirilmi¸s Simetrik, Ters Simetrik ve Ortogonal Matrisler
¨ ¥
13.11 F Genelle¸stirilmi¸s Simetrik, Ters Simetrik ve Ortogonal Dönü¸sümler F
§ ¦
Bir V reel vektör uzayında, skaler çarpımı koruyan dönü¸sümlere ortogonal dönü¸süm denir.
Yani, : V × V → R skaler çarpım olmak üzere, her u vV için,
(Ru Rv)= (u v)
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan R dönü¸sümüne ortogonal dönü¸süm denir. R dönü¸sümüne kar¸sılık gelen
matrise de ortogonal matris denir. Ayrıca, her u vV için,
(u v)= (uv)
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan dönü¸sümüne simetrik dönü¸süm,her u vV için,
(u v)= − (uv)
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan dönü¸sümüne de, ters simetrik dönü¸süm denir. ve dönü¸sümlerine
kar¸sılık gelen matrislere de, sırasıyla simetrik ve ters simetrik matrisler denir.
