Page 204 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Genelle¸stirilmi¸s Skaler Çarpım Uzaylarında Dönme Matrisleri 203


olmak üzere, R R =  olmasıdır. R matrisinin bu ko¸sulu sa˘ gladı˘ gı kolayca görülebilir. u =( ) ∈
R için,
2
p p
2
2
kuk =  (u u)= 2 +3 − 2
olur. Di˘ ger yandan,
∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸
13 1  3+ 
R (u)= =
−231   − 23
oldu˘ gundan,
s
µ ¶ 2 µ ¶ 2 µ ¶µ ¶
1 2 1 2 p
2
2
kR (u)k = 2  +  +3  −  − 2  +   −  = 2 +3 − 2
3 3 3 3
elde edilir. Yani, kuk = R (u) oldu˘ gu görülür. Bu matrisin özde˘ gerleri de,
√
2 5
 12 = ± 
3 3
¸ seklindedir. | 12 | =1 oldu˘ gunu görünüz.
Örnek 13.11
R uzayında,  : R × R → R (x y)= 2 1  1 +3 2  2 −  1  2 −  2  1 skaler çarpımı veriliyor. Bu
3
2
2
skaler çarpım uzayında verilen
∙ ¸
13 1
R =
−231
dönme matrisinin belirtti˘ gi dönme açısını bulunuz. Do˘ grulu˘ gunu kontrol ediniz.
1
Çözüm : iz(R)= 2 cos  =1 + e¸sitli˘ ginden,
3
2
cos  =
3
elde edilir. Yani, R matrisi bir noktayı  =arccos 16 kadar döndürür. Gerçekten, bir u =( ) ∈ R 2
için,
µ ¶
1 2
R (u)=  +   − 
3 3
oldu˘ gundan,
 (uR (u))
cos  =
kukkR (u)k
µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶
1 2 2 1
2  +  +3  −  −   −  −   + 
3 3 3 3
=
2
2 − 2 +3 2
4 2 4 2
 −  +2
3 3
=
2
2 − 2 +3 2
2
=
3
de˘ geri, yukarıdaki sonucu do˘ grular.